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Fonction carrée

Fonctions de référence -
Parité : fonctio...
Fonction affine
Fonction carrée
Fonction inverse
Fonctions trigono...

Nous allons à présent étudier la fonction carrée. C'est très simple. Retenez-la par coeur.

Définition

Fonction carrée La fonction carrée est la fonction f définie sur par f(x) = x².

La fonction carrée est une fonction paire. Donc, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole.

Voici sa représentation graphique :

fonction carrée

Mais pourquoi il faut connaître cette fonction par coeur ?

Cette fonction va nous aider à étudier beaucoup d'autres fonctions possédant un carré. Regardez bien le point méthode qui suit.

Point méthode : Pour étudier les variations d'une fonction f définie sur ensemble de définition réel par f(x) = (x + a)² + b, vous avez deux façons de faire :

  • On détermine successivement les fonctions des fonctions , puis on dresse le tableau de variation sachant que les variations de f(x) = (x + a)² sont les mêmes que celles de f(x) = (x + a)² + b.

  • On monte que la courbe représentative C de la fonction f(x) = (x + a)² + b se déduit de la courbe représentative P de la fonction carrée par translation de vecteur .

Exemple

Etudier les variations de la fonction f(x) = (x + 1)² - 2 par les deux méthodes précédentes.
  • Première méthode :
    La fonction est strictement croissante et positive sur [-1 ; +∞[ et strictement croissante et négative sur ]-∞ ; -1].
    La fonction est strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1] car c'est une fonction carré.
    Donc : la fonction f est strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1].


  • Seconde méthode :
    Soit un point M(x ; y) appartenant à la courbe C représentative de la fonction f si et seulement si y = (x + 1)² - 2 ⇔ y + 2 = (x + 1)².
    Donc le point de coordonnées (x + 1 ; y + 2) appartient à la courbe P représentative de la fonction carrée.
    On passe donc de C à P par une translation de vecteur et de P à C par une translation de vecteur .
    D'où la construction de C suivante :

    sens de variation d'une fonction


    La fonction f est donc strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1].

Fonctions de référence
I - Parité : fonction paire et fonction impaire
II - Fonction affine
III - Fonction carrée
IV - Fonction inverse
V - Fonctions trigonométriques : fonction sinus et fonction cosinus
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