Les vecteurs

Nous avions déjà étudier les vecteurs l'année dernière. Cette année, nous n'allons plus beaucoup travailler à la construction, mais au calcul concernant les vecteurs. Donc, ranger votre crayons, sortez votre stylo et tenez-vous prés.

Il existe plusieurs types de repères. Un repère peut avoir ses axes perpendiculaires ou non, de même longueur ou non.

II - Coordonnées d'un vecteur

On fixe un repère .

Définition : Le vecteur a pour coordonnées (x; y), que l'on note (x; y), si :

Exemple : Le vecteur (5; -6) a pour abscisse 5 et pour ordonnée -6. Il fait trois pas vers la droite et six pas vers le bas.

Vous comprendrez parfaitement que, pour que deux vecteurs soient égaux, il faut nécessairement qu'il aient la même abscisse et la même ordonnée.

III - Longueur d'un vecteur

Un vecteur est défini, rappelez-vous, par un sens, une direction et une longueur. Je vais vous définir maintenant la longueur d'un vecteur.

Propriété : Soient A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B) deux points du plan.
Le vecteur a pour coordonnées :
(x_B - x_A; y_B - y_A)
Dans un repère orthonormal, la longueur AB est égale à :

Exemple : Soit les points du plan A(-3; 1) et B(2; 0).
Le vecteur a pour coordonnées : = (2 + 3; 0 - 1) = (5; -1).
Calculons sa longueur :

IV - Opérations sur les vecteurs

Un vecteur peut, bien évidemment, être additionner à un autre et multiplier par une constante.

Propriété : Soient les vecteurs (x; y) et (x'; y').

• Le vecteur + a pour coordonnées (x + x'; y + y').


• Le vecteur k a pour coordonnées (kx; ky).

Regardez bien l'exemple qui suit. Il est fondamental que vous sachiez le reproduire le soyeux fermés.

Exemple : Soient les points A(5; 3) et B(4; -1) du plan.
Déterminer les coordonnées du point C tel que : = 3.

On commence par définir les coordonnées du points C : soient (x; y) les coordonnées du point C.
On cherche en fait x et y, deux inconnues.
On part de l'équation de l'énoncé : = 3.
Calculons puis .

= (x - 5; y - 3) et = (4 - 5; -1 -3) = (-1; -4)

V - Colinéarité de deux vecteurs

1 - Définition et propriété de la colinéarité

C'est la nouveauté de cette année, celle qui va nous permettre de démontrer l'alignement et le parallélisme.

Définition : Soient les vecteurs et .
Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que : = k.

Deux vecteurs sont colinéaire s'ils ont la même direction, le même sens, et s'ils sont proportionnels.

Et comment on montre que deux vecteurs sont colinéaires ?

J'allais y venir.

Propriété : Soient les vecteurs (x; y) et (x'; y').
Les vecteurs et sont colinéaire si et seulement si : xy' - yx' = 0

Exemple : Les vecteurs (1; 2) et (2; 4) sont colinéaires.

En effet, on remarque que : = 2.
Cela se vérifie bien aussi comme ceci :

2 - Parallélisme et alignement

Comme je vous l'ai dit, la colinéarité va nous servir à démontrer le parallélisme, ainsi que l'alignement de points.

La colinéarité de deux vecteurs signifie en fait que les vecteurs sont parallèles. Si les vecteurs sont colinéaires, alors les droites dont les vecteurs sont directeurs (les droites que dirigent chacun de deux vecteurs) sont parallèles.

Pour démontrer l'alignement ou le parallélisme, il vous suffira de montrer la coliéarité. C'est tout.

Exemple : Soient les points A(5; 3), B(6; 2) et C(-2; 0).
Les points A, B et C sont-ils alignés.

Calculons les cordonnées des vecteurs et et voyons s'ils sont colinéaires. S'ils le sont, les points sont alignés car on a deux vecteurs colinéaires et un point en commun. Sinon, les points ne le sont pas.

= (6 - 5; 2 - 3) = (1; -1) et = (-2 - 5; 0 - 3) = (-7; -3).

Regardons maintenant la colinéarité : 1×(-3) - (-1)×(-7) = -3 -7 = -10 ≠0.

Donc, les points A, B et C ne sont pas alignés.


Je ne vous donne pas d'exemple sur le parallélisme, c'est la même chose. Vous calculez les coordonnées des vecteurs qui dirigent les droites dont vous voulez savoir si elles sont parallèles ou non. Si ces deux vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles, sinon tant pis.

Pseudo	Commentaire
Soureya fayçal	Il y a 108 jours.
Niveau : 2nd	comment on peux savoir si deux vecteurs sont colinéaire ou pas
Tony12354	Il y a 108 jours.
Niveau : Ingénieur	Bonjour, Prenons deux vecteurs u(x, y) et v(x', y'). Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : xy' - x'y = 0. Une simple différence de deux produit. Pour toute autre question, nous sommes à votre entière disposition dans notre forum de maths.
Neloumbaye esaie	Il y a 70 jours.
Niveau : IUT	comment peut-on savoir si deux vecteurs forment une base ou non
Tony12354	Il y a 70 jours.
Niveau : Ingénieur	Bonjour, La démonstration que deux vecteurs forment une base n'est pas au programme de lycée. Bonne journée à vous.