Développement et factorisation

Développement et factorisation

Quelques rappels sur le développement et la factorisation avec deux nouvelles notions très importantes cette année et pour le Brevet : les identités remarquables et le produit de facteur nul. Commençons par des petits rappels.

Profiter de l'essai à 1€

Ce cours de maths Développement et factorisation se décompose en 4 parties.

  • 1. Développement

    Définition

    Développement

    k(a + b) = ka + kb

    k(a - b) = ka - kb

    On dit que l'on distribue k sur a et b.

    (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

    (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd

    Remarque

    Ces formules de développement sont des rappels de 4ème et sont à connaître par coeur.

    Exemples

    Développement en 3eme

    Vous ne devriez pas avoir de problème pour ces calculs là. Si jamais ce n'était pas le cas, allez faire un tour dans le chapitre 7 (Calcul littéral) de 4ème.

  • 2. Factorisation

    Pour factoriser une expression, on procéde en fait à l'inverse de ce qu'on vient de faire pour développer. Reprenons une des formule suivante et mettons-la dans l'autre sens :

    k(a + b) = ka + kb


    En fait, on aura une somme de produit avec, pour chaque produit, un facteur commun, ici le k.

    Attention : le k peut être soit un nombre, soit une somme de terme. Voyons ces deux cas dans deux exemples.

    Exemple

    Factoriser les expressions.

    Cas ou le k est un nombre :

    A = 2(4 - x) + 2


    Ici on a une somme de deux produits : 2(4 - x) et 2.
    Dans ces deux produit, on a le facteur 2 qui revient. Le premier produit c'est 2 fois (4 - x) et le second c'est tout simplement 2 fois 1.

    On va prendre ce 2 dans les deux produits pour le mettre en facteur. L'expression de A devient :

    A = 2[(4 - x) + 1]


    On a mis en facteur le 2, c'est-à-dire que nous l'avons pris des deux produits, et dans la parenthèse, il reste donc que le second facteur des produits, ici (4 - x) et 1 car c'était 2 × (4 - x) et 2 × 1.

    A présent, on calcul ce qu'il y a à l'intérieur de la parenthèse et on a fini.

    A = 2[(4 - x) + 1] = 2(4 - x + 1) = 2(-x + 5)

    Remarque importante

    On ne redéveloppe pas avec le facteur 2, sinon on reviendra au point de départ.

    Exemple

    Cas ou le k n'est pas un nombre seul :

    B = (3 + x)(4 - 3x) - (1 - x)(x + 3)


    Ici, nous avons encore une somme de deux produits : (3 + x)(4 - 3x) et (1 - x)(x + 3).

    On remarque que le (3+x) revient dans les deux produits. Oui, car x + 3 = 3 + x. Attention, ne tombez pas dans le piège.

    On va donc factoriser par ce facteur commun. On factorise et cela donne :

    B = (3 + x)(4 - 3x) - (1 - x)(x + 3) = (3 + x) [(4 - 3x) - (1 - x)]


    On a plus qu'à calculer les terme à l'intérieur de la parenthèse et on a fini de jouer.

    Faites bien attention à cette étape là. Il y a un - devant la parenthèse (1 - x), on doit donc changer les signes de cette parenthèses, c'est-à-dire que 1 devient -1 et que -x devient +x.

    B = (3 + x) [(4 - 3x) - (1 - x)] = (3 + x)(4 - 3x - 1 + x) = (3 + x)(-2x + 3)


    Le tour est joué !

  • 3. Identités remarquables

    Dans cette partie, je vais vous donner les trois identités remarquables qui sont plus que fondamentale. Les voici.

    Propriétés

    Identités remarquables Ces relations se lisent dans les deux sens, soit pour développer, soit pour factoriser.

    (a + b)² = a² + 2ab + b²

    (a - b)² = a² - 2ab + b²

    (a + b)(a - b) = a² - b²

    Pour bien que vous assimiliez ces formules dans les deux sens, je vais vous donner deux exemples pour le développement et deux (ou trois peut-être...) exemples pour la factorisation.

    Exemples de développement

    A = (2x - 1)² = (2x)² - 2 × (2x) × (1) + 1² = 4x² -4x +1

    Application bête et méchante de la formule.

    B = (x - 2)(x + 2) = x² - 2² = x² - 4

    Cette formule vous fera gagner du temps plus d'une fois.

    Exemples de factorisation

    C = x² - 6x + 9 = x² - 2 × (3) × x + 3² = (x - 3)²

    Cet exemple est un peu complexe dans le sens de la factorisation. Vous aurez rarement à faire des choses comme ça à votre niveau. sachez tout de même que j'ai juste décomposer les termes de cette expression pour retrouver une identité remarquable.

    D = x² - 1 = x² - 1² = (x - 1)(x + 1)

    Cet exemple ci, par contre, vous en rencontrerez tout le temps. Cela dit, c'est assez simple à voir : il faut deux termes au carré et un - entre les deux. Facile en fait. Aller, un dernier un peu plus difficile cette fois.

    E = (x + 1)² - 16


    Alors la, deux termes séparés d'un signe -. Le premier est un carré, oui oui, c'est le carré de (x+1) et le second est le carré de 4 car 4 × 4 = 16.
    Voici donc la factorisation :

    E = (x + 1)² - 16 = [(x + 1) - 4][(x + 1) + 4] = (x + 1 - 4)(x + 1 + 4) = (x - 3)(x + 5)

    Attention, c'est bien le signe entre les deux produits initiaux qui devient - puis + (ou + puis -, c'est pareil).

  • 4. Produit de facteur nul

    Produit de facteurs nul ? Qu'es-ce que c'est ça encore ?

    Bien voyons ! Un produit, il est nul quand ? Quand un de ses facteurs est nul !

    Propriété

    Produit de facteurs nul Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

    Si on a un produit de cinquante termes par exemple. Il suffit que un seul de ces 50 termes soit nul, pour que le produit entier soit nul.

    Exemple d'application

    Résoudre l'équation :

    (2x + 1)(x - 2) = 0


    C'est un produits de deux facteurs : (2x + 1) et (x - 2).
    Pour qu'il soit nul il faut que :

    2x + 1 = 0 ou x - 2 = 0


    On a plus qu'à résoudre ces deux équations.

    2x + 1 = 0 ou x - 2 = 0
    2x = -1 ou x = 2
    2x = Produit de facteur nul ou x - 2 = 0


    Donc, pour que l'équation de départ soit nulle, il faut soit que x = résoudre une équation de produit de facteur nul, soit que x = 2.

    Les solutions de l'équation sont donc : x = Développement et factorisation et x = 2.

Donnez votre avis sur ce cours.




Développement et factorisation : 4/5 - 50 avis.