Fonctions affines et fonction linéaires

Fonctions affines et fonctions linéaires

Nous nous attaquons désormais à une notions plus que fondamentale en mathématiques : les fonctions.
Dans ce chapitre, nous allons en aborder deux types : les fonctions linéaires et les fonctions affines.
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Ce cours de maths Fonctions affines et fonctions linéaires se décompose en 3 parties.

  • 1. Notion de fonction

    1 - Définition d'une fonction

    Commençons par définir la notion de fonction.

    Définition

    Fonction Une fonction est une formule comportant une seule lettre, généralement x.
    C'est une formule, donc on peut calculer ses valeurs en donnant une valeur à ce x appelé variable.

    Expliquons-nous à travers un exemple simple.

    Exemple

    La formule mathématiques qui donne l'aire d'un carré est A = x × x = x², avec x la longueur du côté du carré.
    La fonction qui donne l'aire d'un carré s'écrira de la manière suivante : f(x) = x².

    Le f(x) se lit f de x, et signifie "f est fonction de x", c'est-à-dire que l'orque la valeur de x change, la valeur de f change aussi.

    Regardez, pour x = 2 :

    f(x = 2) = f(2) = 2² = 4


    Ce résultat signifie que quand le côté d'un carré (x) est égal à 2, son aire vaut 4.

    Notez bien ces définitions :

    On dit que par la fonction f, l'image de 2 est 4 et que l'antécédent de 4 est 2.

    En gros : f(x) est appelé l'image de x, et x lui même est l'antécédent de f(x).

    Remarque

    Ces deux notions sont fondamentale. Elles doivent être bien maîtrisées.

    Autre notation

    On peut représenter la fonction f comme ceci :

    définition et notation d'une fonction


    On dit que : la fonction f est la fonction qui à x associe x².

    2 - Réprésentation graphique d'une fonction

    Reprenons la fonction précédente f(x) = x² et calculons f pour plusieurs valeurs de x.

    représentation graphique d'une fonction


    Jusque là, tout va bien, on a juste remplacé x par les valeurs du tableau.

    Et on en fait quoi maintenant de toutes ces valeurs qu'on a calculé ?

    On va pouvoir, grâce à elles, tracer la fonction f. Voici donc la représentation graphique de la fonction f :

    représentation d'une fonction dans un repère


    On a juste placé les points correspondants à (x ; f(x)) sur un repère.

    Remarques

    Vous remarquerez que l'on a pris une unité bien plus petite pour l'axe des ordonnées (axe vertical) que pour celui des abscisses (axe horizontal) dans le but de pouvoir bien tracer les points de la fonction, sinon elle serait sorti de la feuille. On a tout-à-fait le droit de faire ça.
    De plus, vous pouvez voir que après le point (4 ; 16), la courbe continue. Oui, elle ne doit pas s'arrêter, surtout pas !

  • 2. Fonction linéaire

    Je vais vous présenter la notion de fonction linéaire, elle est très simple mais doit être bien comprise pour la suite du cours quand on abordera sa cousine, la fonction affine.

    Définition

    Fonction linéaire Une fonction linéaire est une fonction de la forme :

    f(x) = ax

    Avec a une valeur numérique fixée.

    Remarque

    En fait, une fonction linéaire marque une relation de proportionnalité.

    Exemple

    La fonction est une fonction linéaire.

    Allez, étudions une fonction linéaire avec calcul d'image, d'antécédent et représentation graphique.

    Exemple

    Soit la fonction f(x) = 5x.

    Calcul de l'image :

    On remplace simplement x par les valeurs que l'on veut.

    f(-1) = -5
    f(0) = 0
    f(1) = 5
    f(2) = 10
    f(3) = 15

    On dit que l'image de (-1) par f est (-5), que l'image de 0 par x est 0, etc.
    On pourrait continuer ainsi, mais nous n'avons pas que cela à faire !

    Calcul de l'antécédent :

    Cherchons par exemple l'antécédent de 3 par la fonction x.

    On cherche donc x (oui, x est l'antécédent), tel que f(x) = 3.

    Et comment on fait ?

    Simple équation. On résout ceci : 5x = 3.

    Et on trouve : fonction affine

    Donc, l'antécédent de 3 par f est valeurs d'une fonction linéaire.

    Représentation graphique : à l'aide des images calculées tout-à-l'heure, on construit le tableau suivant :

    tableau de valeurs d'une fonction linéaire


    On trace enfin la fonction f, et puis voilà.

    représentation graphique d'une fonction linéaire

    Remarque/Exemple

    Si on vous demande de retrouver une fonction linéaire g (Eh oui, toutes les fonctions ne s'appellent pas f, on peut les appeler comme on veut) tel que g(2) = 6, voilà comment procéder :

    On revient à la définition. On sait qu'une fonction linéaire est de la forme g(x) = ax, on cherche le a.

    Or, g(2) = 6.

    Donc : g(2) = 2 × a = 6

    On résout et on trouve : a = 3.

    Et en effet, l'antécédent de 2 par la fonction g(x) = 3x est bien 6.

  • 3. Fonction affine

    Maintenant la cousine !

    Définition

    Fonction affine Une fonction affine est une fonction de la forme :

    f(x) = ax + b

    Avec a et b deux valeurs numériques fixées.

    On procéde de la même façon que pour les fonction linéaires, avec un exemple complet.

    Exemple

    Soit la fonction f(x) = 2x + 1.

    Calcul de l'image :

    Ccomme précédemment, on remplace x par les valeurs que l'on veut.

    f(-2) = -3
    f(-1) = -1
    f(0) = 1
    f(1) = 3
    f(2) = 5

    L'image de (-2) par f est (-3), que l'image de 0 par f est 1, etc.

    Calcul de l'antécédent :

    Cherchons par exemple l'antécédent de 2 par la fonction f.

    On cherche donc x, tel que f(x) = 2.
    On résout :

    2x + 1 = 2
    2x = 1


    Et on trouve : fonction affine

    Donc, l'antécédent de 2 par f est antécédent d'une fonction linéaire.

    Représentation graphique : à l'aide des images que l'on vient de calculées, on construit le tableau suivant :

    tableau de valeurs d'une fonction affine


    On dit que l'on trace la droite d'équation : y = 2x + 1.
    Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; f(0)).
    f(0) se lit directement sur la fonction : f(0)=1. Nous reviendrons à la fin de ce cours sur cette notion.

    Représentation graphique de la fonction f :

    représentation graphique d'une fonction affine

    Remarque/Exemple

    Si on vous demande de retrouver une fonction affine f tel que f(1) = 0 et f(2) = 4 :
    On revient, encore et toujours, à la définition. On sait qu'une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, on cherche le a et le b.

    Mais on ne sait pas résoudre une équation avec deux inconnues ?!

    Non, c'est vrai. En tous les cas, il y aurait une infinité de solutions. Mais qui vous parle d'une équation ? C'est un système que l'on va résoudre cette fois.
    Or, f (1) = 0 et f (2) = 4.
    Donc :

    a × 1 + b = 0
    a × 2 + b = 4


    On résout donc le système suivant :

    système de fonctions affines


    On va faire (L1) - (L2).

    -a = -4
    a = 4


    Ont rouge ensuite b :

    a + b = 0
    a = -b
    b = -4


    Donc, le couple de solution de ce système est (4 ; -4).

    Et donc la fonction recherchée est : fonction affine en 3eme

    Je vous laisse vérifier.

    Je vous avais dit que je reviendrai sur une notion importante. Je me suis trompé en disant qu'elle était importante. Elle est ultra importante. La voici.

    Définitions

    Coefficient directeur et ordonnée à l'origine Soit une fonction affine f(x) = ax + b. Sa droite d'équation est : y = ax + b.
    a s'appelle le coefficient directeur de la droite et b s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite.

    Le coefficient directement se traduit aisément sur une droite. Quand la droite avance d'un pas vers la droite, elle monte de a pas vers le haut (si a est positif) ou vers le bas (si a est négatif).

    L'ordonnée à l'origine traduit le point de coordonnées (0 ; f(0)), avec f(0) = b.

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Fonctions affines et fonctions linéaires : 3/5 - 29 avis.