Théorème de Thalès

Théorème de Thalès

Nous avions déjà abordé le théorème de Thalès l'année dernière. Je vais vous le remémorer et vous apprendre sa réciproque, son sens inverse.

Profiter de l'essai à 1€

Ce cours de maths Théorème de Thalès se décompose en 3 parties.

  • 1. Théorème de Thalès

    J'espère que vous vous en rappelez. C'est très simple.

    Théorème

    Théorème de Thalès On considère deux triangles, OAB et ORS, qui ont un sommet commun, le point O. De plus, les droites (AB) et (RS) sont parallèles.

    définition du théorème de Thalès


    On a alors les relations d'égalité suivantes :

    égalités de thalès

    Comprennez bien ces formules. Prenons par exemple le côté [OA]. On a R ∈ [OA]. On fait le petit sur le grand à chaque fois, le sommet commun jusqu'au point R sur le sommet commun jusque l'autre point, le point A, soit : relations de thalès

    On peut aussi faire le grand sur le petit. Quoi qu'on fasse comme fraction, on le fait dans toute l'égalité.

    relations d'égalité du théorème de thalès

    Remarques

    • Lorsque l'on fait sur les côtés qui ne sont pas parallèles, on a toujours en commun au numérateur et au dénominateur des fractions le point O, somme commun des deux triangles.

    • On peut également appliquer le théorème de Thalès dans le cas de figure suivant :

      théorème de thalès en 3eme


      On a bien deux triangles, OAB et ORS, qui ont un sommet commun, le point O et les droites (AB) et (RS) sont parallèles.

    Exemple

    On considère la figure suivante. On suppose que (AB) // (CD).

    thalès en troisième


    On donne : AO = 2cm, BO = 3cm, CO = 6cm et CD = 8cm.
    Calculer AB.

    Je vais vous donner la correction type à adapter à chaque fois que vous serez confronté à cette situation. Tachez de la reproduire au mot près.
    On considère les triangles ABO et CDO de sommet commun O.
    De plus, d'après l'énoncé, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
    Nous avons toutes les conditions requises pour appliquer le théorème de Thalès.

    égalité de thalès 3eme


    On va prendre deux fractions dont une que l'on connait entièrement et l'autre où l'on connait une valeur et l'autre est la valeur recherchée.
    La fraction OB/OC est entièrement connue car BO = 3cm et CO = 6cm, on la garde.
    On veut calculer AB et l'on connait CD, prenons donc AB/CD.
    On a donc :

    relations d'égalité thalès


    Isolons la valeur que l'on veut calculer, c'est-à-dire AB, en faisant passé le CD du dénominateur de droite au numérateur de gauche.

    théorème de thalès en classe de 3ème


    On fait l'application numérique en utilisant les valeurs données dans l'énoncé.

    exemple égalité de thalès


    Nous avons terminé l'exercice.
    Cela peut parraîttre long, mais c'est parce-que j'ai bien prix mon temps pour tout vous expliquer.

  • 2. Réciproque du théorème de Thalès

    Voici la nouveauté de cette année. On va apprendre à utilisé le théorème de Thalès mais à l'envers.

    Théorème

    Réciproque du théorème de Thalès On considère deux triangles, OAB et ORS, qui ont un sommet commun, le point O.

    réciproque du théorème de thalès


    Si : égalité de la réciproque du théorème de thalès

    Alors, les droites (AB) et (RS) sont parallèles.

    Cette fois ci, on a toujours les deux triangles au sommet commun oui, mais on va cherché à calculer les deux rapports pour démontrer ou pas le parallélisme des deux droites. Si ces rapports sont égaux, les droites sont parallèles, sinon elles ne le sont pas.

    Remarque

    On va calculer les rapport des côtés qui ne sembles pas parallèles.

    Exemple

    On considère la figure suivantes :

    exemple de réciproque du théorème de thalès


    On a : AM = 45, AB = 65, AN = 54 et AC = 78.
    Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

    Pour cela, calculons les rapports des côtés qui ne sont pas parallèles.

    réciproque du théorème de thalès en 3eme


    On remarque que : égalité de la réciproque de thalès

    Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

    Remarque

    Si on avait trouver deux rapports différents, les droites n'auraient pas été parallèles d'après le théorème de Thalès et non pas sa réciproque.

  • 3. Agrandissement et réduction

    Pendant qu'on est dans le thème, une dernière partie pour aborder l'agrandissement et la réduction.

    Définition

    Agrandissement et réduction Un agrandissement est la multiplication de toutes les longueurs d'une figure par un nombre k > 1, appelé facteur d'agrandissement.
    Une réduction est la multiplication de toutes les longueurs d'une figure par un nombre 0 < k < 1, appelé facteur de réduction.

    Je vous donne un exemple pour que vous compreniez mieux.

    Exemple

    Soit la figure suivante :

    agrandissement et réduction


    Ici, les droites (AC) et (DE) étant parallèles, on passe du triangle DBE au triangle ABC par un agrandissement de facteur :

    9/6 = 1,5


    En effet, pour passer du triangle DBE au triangle ABC, on doit multiplier les longueurs des côtés par 1,5. On dit, dans ce cas d'agrandissement, que 1,5 est le facteur d'agrandissement.

    Et inversement, pour passer du triangle ABC au triangle DBE, on doit diviser les longueurs des côtés par 1,5. On dit dans ce cas là que 1,5 est le facteur de réduction.

Donnez votre avis sur ce cours.




Théorème de Thalès : 4/5 - 39 avis.