Vecteurs et translation

Vecteurs et translation

Un des chapitres les plus importants de cette année de troisième.
Dans ce chapitre, nous allons revenir sur la translation et définir la notion de vecteurs, très utilisées en mathématiques.
Vous aurez surement un exercice sur ce chapitre durant l'épreuve de Juin prochain. Alors concentrez-vous bien.

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Ce cours de maths Vecteurs et translation se décompose en 5 parties.

  • 1. Translation

    Ceci est un rappel.

    Définition

    Translation Sur le dessin suivant, vecteur et translation' est l'image de définition d'une translation par une translation qui transforme A en B.

    définition de la translation en 3eme

    Fini pour les rappels.

  • 2. Les vecteurs

    1 - Définition des vecteurs

    Qu'es-ce qu'un vecteur ? Commençons par là.

    Définition

    Vecteur Un vecteur est défini par trois choses :
    • Une direction,

    • Une longueur,

    • Un sens.
    Un vecteur est représenté par une flèche.
    On a souvent tendance à marqué un vecteur par deux points, un de départ et un point d'arrivé : vecteur AB.

    Définition d'un vecteur

    Dans la figure précédente, c'est une translation de vecteur translation de vecteur AB qui transforme le point A en B, ainsi que tous les autres points de la figure par les points correspondant de la figure ' tel que chaque point et son image soit translatés d'une même longueur, d'un même sens et d'une même direction que le vecteur vecteurs.

    2 - Vecteurs égaux

    Lorsqu'on translate une figure, on translate en fait tous les points qui composent cette figure. Et ces points et leurs images correspondantes forment chacun un vecteur égal au vecteur de la translation.

    Définition

    Vecteurs égaux Si deux vecteurs ont la même direction, la même longueur et le même sens, alors ces vecteurs sont égaux.

    définitions de vecteurs égaux

    Regardez la figure suivante.

    exemple de vecteurs égaux


    Les vecteurs vecteur v et vecteur w ont la même direction mais des longueurs différentes. Ils ne sont donc pas égaux.
    Tandis que les vecteurs vecteur u etvecteur w ont la même direction, le même sens et la même longueur, ils sont égaux. : vecteurs et translations = vecteur w.

    3 - Vecteurs opposés

    S'il manque une des trois condition, c'est fichu. Par exemple, si le sens est inversé...

    Définition

    Vecteurs opposés Si deux vecteurs ont la même direction, la même longueur mais le sens inverse, alors ces vecteurs sont opposés.

    définition vecteurs opposés

    Ci-dessus, les vecteurs et sont opposés : = -.

    4 - Vecteur nul

    Le fameux vecteur nul. Vous croyez peut-être qu'il ne sert à rien. Détrompez-vous.
    Mais à votre avis, c'est quoi, le vecteur nul ?

    Définition

    Vecteur nul Un vecteur qui n'a ni de direction, ni de sens, ni de longueur est un vecteur nul.

    Exemple

    Les vecteurs vecteurs nul et définition de vecteurs nuls sont nuls car le point de départ du vecteur est le même que celui de l'arrivée.

    Remarque

    Si le vecteur est nul, alors les points A et B sont confondus.

    5 - Vecteurs et translation

    Revenons à la translation par un vecteur.

    Propriété

    Vecteurs et translation Soit vecteur et translation un vecteur quelconque.
    L'image du point C par la translation de vecteur définition de la translation est le point D tel que : = translation.

    vecteurs et translation

    Il existe une autre méthode lorsque cela devient plus compliqué de tracé l'image d'un point par la translation vectorielle. Nous allons le voir tout de suite.

  • 3. Vecteurs et parallélogramme

    Vous vous rappelez de ce qu'est un parallélogramme bien sur ?

    Propriétés

    Egalités vectorielles dans un parallélogramme Soit ABCD un parallélogramme.

    vecteurs et parallélogramme


    Alors on a les égalités vectorielles suivantes :

    égalités vectorielles et parallélogrammes

    Cela se voit très bien, surtout en connaissant les propriétés du parallélogramme.

    Voici la réciproque.

    Propriété

    Vecteurs et parallélogrammes Soit ABCD un quadrilatère.
    Si on a une des égalités vectorielles suivantes :

    propriété des vecteurs et parallélogrammes


    Alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

    Les vecteurs et les parallélogrammes sont très liés vous aller le voir. Surtout lorsque l'on veut sommer des vecteurs.

  • 4. Somme de vecteurs

    On peut bien évidemment sommer deux vecteurs.

    Propriété

    Somme de vecteurs La composée de deux translations de vecteurs et est une translation de vecteur + somme de deux vecteurs.

    Exemple

    Dans la figure suivante,



    On transforme le point A en point B par la translation de vecteur .
    Puis, le point B en point C par la translation de vecteur .
    Donc, le point C est l'image du point A par la translation de vecteur somme de deux vecteurs + .

    Une relation appelée Relation de Chasles traduit cela.

    Propriété

    Relation de Chasles Si M' est l'image de M par la translation de vecteur et M'' l'image de M' par la translation de vecteur relation de chasles, alors M'' est l'image de M par la translation de vecteur + et on a la relation, appelée relation de Chasles, suivantes :

    relations de chasles = chasles en 3eme + égalité de chasles

    En fait, on a décomposé le vecteur par M'.
    Vous remarquerez que le point d'arrivée du vecteur est le point de départ du vecteur . Et si l'on prend le point de départ du vecteur et le point d'arrivée du vecteur on obtient le vecteur .

    Il y a deux méthodes de construction :

    • En mettant les vecteurs bout à bout comme ceci :



      On construit le point M tel que = .
      Puis on reproduit le vecteur au point M.
      Le point d'arrivée est le point B, image du point A par la translation de vecteur + .

    • En utilisant les égalité du parallélogramme.



      On reproduit les vecteurs et au point A, ce qui nous donne respectivement les points M et N.
      On construit le point B tel que le quadrilatère ANBM soit un parallélogramme.

  • 5. Deux symétries centrales successives

    Je vous rappelle qu'une symétrie centrale est une symétrie par rapport à un point.

    Définition

    Deux symétries centrales successives Soient A et B deux point distincts du plan.
    La composée de la symétrie centrale de centre A et de la symétrie centrale de centre B est une translation de vecteur + deux symétries centrales successives = 2 symétrie centrale et vecteurs.

    symétrie centrale, vecteurs et translation

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Vecteurs et translation : 3/5 - 27 avis.