Fractions

Fractions

Nous avions déjà  introduit la notion de fractions l'année dernière. Cette année, nous allons apprendre à mieux les manipuler : les égaler, les soustraire, les additionner, les multiplier. Enfin bref, vous allez tout voir sur les fractions, ou presque.

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Ce cours de maths Fractions se décompose en 7 parties.

  • 1. Définition des fractions

    Définition

    Fraction Le résultat exact de la division de a par b ≠ 0 est la fraction : Définition d'une fraction
    Avec a au numérateur et b au dénominateur.

    Exemples

    Exemple de fractions

  • 2. Egalités de fractions

    Plusieurs divisions peuvent avoir le même résultat, on dira que ce sont des fractions égales.

    Si on multiplie (ou on divise) le numérateur et le dénominateur par le même nombre, alors la fractions reste la même.

    Exemple

    Les fractions Exemple de fractions et Encore des fractions sont égales car l'une est le double de l'autre, c'est-à-dire que si on multiplie la première fraction par 2 on obtient la seconde.

    Comment prouve-t-on que deux fractions sont égales ?

    Facile : si on arrive à trouver un opérateur (multiplication ou division) qui permet de passer d'une fraction à l'autre c'est gagné.

    Exemple

    Pour Egalités de fractions et Exemple d'égalité de fractions, on remarque que si on multiplie le numérateur de la première fraction (3) ainsi que son dénominateur (8) par 7 on retrouve la deuxième fraction. Ces deux fractions sont donc égales.

  • 3. Fractions irréductibles

    Définition

    Fractions irréductibles Parmi toutes les fractions égales, il y en a une qui possède le numérateur et le dénominateur les plus petits, on ne peut pas les réduire plus. On dit que cette fractions est irréductible.
    Pour simplifier une fraction, on la mettre sous la forme d'une fraction irréductible.
    On cherchera le diviseur commun du numérateur et du dénominateur pour les diviser par celui-ci.

    Je m'explique tout de suite, ne vous en faites pas.
    On va chercher le diviseur commun du haut et du bas de la fraction. Autrement dit, on regarde si le numérateur et le dénominateur de la fraction sont dans la même table de multiplication. Si c'est le cas, on va pouvoir les diviser par ce nombre, que l'on appellera le diviseur commun. Voici un exemple pour éclaircir le tout.

    Exemple

    La fraction Fractions irréductibles possède un numérateur et un dénominateur qui sont dans la table de 5. On va donc pouvoir diviser le haut et le bas de cette fraction par 5, le diviseur commun de 5 et 15.
    On commence par décomposer cette fraction de cette manière là :

    Exemple de fractions irréductible

    On peut alors supprimer le 5 du haut et du bas.
    En effet, dans la pratique, quand une fraction possède un même nombre au numérateur et au dénominateur, on les supprime à condition que l'opération soit une multiplication et UNIQUEMENT une multiplication.
    On obtient donc :

    Calcul de fractions irréductibles

    Autre exemple

    Simplification de : Les nombres 36 et 26 font tous les deux partis de la table de 2 à première vue. On va donc diviser le numérateur et le dénominateur par 2.

    Exemple de fraction


    Les nombres 18 et 13 n'ont aucun diviseur commun. On s'arrête la, la fraction est irréductible.

    Mais comment on sait tout de suite si le numérateur et le dénominateur d'une fraction ont un diviseur commun ?

    Ah, je m'attendais à cette question. Vous voulez une astuce, c'est cela ? Bon, puisque vous avez pas mal travaillé jusqu'ici, je vous la donne.

    Critères de divisibilité

    Propriété

    Divisibilité par 2 Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.

    Exemple

    876 904 est divisible par 2 car il se termine par un 4.

    Propriété

    Divisibilité par 3 Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.

    Exemple

    375 est divisible par 3 car 3 + 7 + 5 = 15 et 15 est dans la table de 3.

    Propriété

    Divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par 4 si le nombre constitué de ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4.

    Exemple

    1 000 990 188 est divisible par 4 car 88 est divisible par 4.

    Propriété

    Divisibilité par 5 Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.

    Exemple

    23 465 est divisible par 5 car son dernier chiffre est 5.

    Propriété

    Divisibilité par 6 Un nombre est divisible par 6 si il est à la fois divisible par 2 et par 3, c'est-à-dire si c'est un nombre pair dont la somme des chiffres est elle-même divisible par 3.

    Exemple

    1572 est divisible par 6 car c'est un nombre pair et 1+ 5 + 7 + 2 = 15 et 15 et divisible par 3.

    Propriété

    Divisibilité par 9 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 9.

    Exemple

    621 est divisible par 9 car 6 + 2 + 1 = 9.

    Propriété

    Divisibilité par 10 Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

    Exemple

    5 567 320 est divisible par 10.

  • 4. Multiplication de fractions

    Propriété

    Multiplication de fractions Pour multiplier deux fractions entre elles, on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

    Multiplication de fractions

    Exemples

    Fractions multipliées


    Or, 12 et 35 n'ont pas de diviseur commun. Donc, la fraction est irréductible.

    Exemple de multiplication de fractions


    Or, 9 = 3 × 3, on va pouvoir simplifier la fraction dés à présent en supprimant un 3 en haut et un 3 en bas comme ceci :

    Multiplications de fractions


    La fraction est simplifiée au maximum, elle est irréductible.

  • 5. Réduction au même dénominateur de fractions

    On sait comment multiplier deux fractions entre elles, mais comment les additionne-t-on et les soustrait-t-on ?
    Pour ce faire, il faut d'abord réduire les deux fractions à additionner (ou à soustraire) au même dénominateur.

    Propriété

    Réduction au même dénominateur Pour réduire deux fraction au même dénominateur, c'est-à-dire pour que les deux fractions aient le même dénominateur, on utilise le principe d'égalité.

    Un exemple vaut mieux qu'un long discours.

    Exemple

    Soit les fractions et . Elles n'ont pas le même dénominateur. Il faut donc trouver un multiplicateur pour que les deux dénominateurs soient égaux.
    Trouvé ! On va multiplier la première fractions par 3 et la seconde par 2 car 4 × 3 = 12 et 6 × 2 = 12. Allons-y :

    Réduction de deux fractions au même dénominateur


    Et voilà, c'est aussi simple que cela.

    Remarque

    Petite astuce pour réduire rapidement deux fractions au même dénominateur : multiplier la première fraction par le dénominateur de la seconde et la seconde par le dénominateur de la première. Attention ensuite à simplifier au maximum pour avoir une fraction irréductible.

  • 6. Additions et soustractions de fractions

    Propriété

    Additions et soustractions de fractions : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions entre elles, il faut les mettre sous le même dénominateur puis effectuer le calcul au niveau du numérateur, le dénominateur n'effectue pas l'opération, il reste tel quel.

    Additions et soustractions de fractions


    De même avec la soustraction.

    Exemple

    Reprenons les deux fractions de l'exemple précédent, que l'on avait mis sous le même dénominateur. Une partie du travail est déjà fait comme ça.

    Exemple d'addition de fractions

  • 7. Comparaison de fractions

    Propriété

    Comparaison de fractions Pour comparer deux fractions, il faut absolument les mettre sous le même dénominateur. Dans ce cas la, on compare les numérateur pour trouver quelle fraction est la plus grande.

    Comparaison de fractions

    Exemple

    Reprenons encore une fois les deux fractions de l'exemple précédent, que l'on avait mis sous le même dénominateur. Une partie du travail est déjà fait comme ça.
    Or, on a 9 < 10. Donc tout simplement :

    Exemple de comparaison de fractions

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