Applications du produit scalaire

Cours première S

Plusieurs théorèmes célèbres sont issus de ce produit scalaire. Et oui, on ne fait rien qui ne sert à rien !

1 - Théorème de la médiane

Théorème

Théorème de la médiane

Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].



Pour tout point M du plan, on a les relations suivantes :

Exemple

Calculer la longueur de la médiane du triangle ABM issue de M tel que AB = 4, AM = 3 et BM = 7.
Rien de plus simple, on applique tout bêtement.

2 - Théorème d'Al Kashi

Vous connaissiez Pythagore en 4ème, mais son théorème n'est qu'un cas particulier de celui d'Al Kashi que je vais vous montrer tout de suite.

Théorème

Théorème D'Al Kashi

Soit un triangle ABC avec AB = c, AC = b et BC = a.



On a les relations suivantes :

Rappelez-vous, pour appliquer le théorème de Pythagore, il nous faut un triangle rectangle, soit un angle droit, un angle de .
Et le cosinus d'un angle droit vous combien ? Il est nul.
Donc, si l'angle droit est en A, les formules se transforment en : a² = b² + c²

C'est le théorème de notre cher Pythagore, oui.

Grâce à ce théorème, en particulier, vous saurez calculer tous les angles d'un triangle en ayant juste la longueur de ces côtés. Tiens ! Faites-le.

3 - Formule des sinus

Après les cosinus, les sinus ! Le produit scalaire nous donne des propriétés sur les sinus.

Propriété

Formule des sinus

Soit un triangle ABC d'aire avec AB = c, AC = b et BC = a.



On a les relations suivantes :

Un nouvelle façon de calculer l'aire d'un triangle sans utilisée la base et la hauteur.

Exemple

Soit un triangle ABC construit comme dans la définition précédente, avec BC = a = 12, = 30° et = 60°.
Calculer le côté [AC].

Pour trouver b, on utilise la relation :



Or,



Donc :

4 - Equations et produit scalaire

Deux propriétés sur les équations et l'on aura terminé pour ce chapitre.

Propriété

Le premier ensemble fait référence à la définition du produit scalaire suivante : si le produit scalaire de deux vecteurs est nul alors ces vecteurs sont orthogonaux.

La seconde fait référence à un triangle dans un cercle dont l'un des côtés est diamètre de ce cercle, ce triangle est forcément rectangle. Et bien ici, si les vecteurs et sont orthogonaux, cela signifie que le segment [AB] est diamètre d'un cercle.