Maintenant que l'on sait ce que sont les variations d'une fonction, il est temps d'apprendre à étudier le sens de variation d'une fonction. C'est le but de ce cours avec les propriétés et des exemples d'applications.
1 - Sens de variation des fonctions affines
Le cas des fonctions affines est le plus simple. C'est le même d'ailleurs que celui des fonctions linéaires. On détermine leur sens de variation grâce au coefficient directeur.
Définition
Sens de variation des fonctions affines
Soit une fonction affine f(x) = ax + b définie sur
.
- Si a > 0, alors f est strictement croissante sur ,
- Si a < 0, alors f est strictement décroissante sur ,
- Si a = 0, alors f est constante sur .
Facile, non ?
En jetant seulement un petit coup d'oeil à la fonction, on peut déterminer son sens de variation.
Je n'est donc rien à ajouter.
2 - Sens de variation des fonctions en général
Pour représenter le sens de variation d'une fonction, on trace son tableau de variations.
Dans ce tableau, on met une flèche 
pour dire que la fonction croît, et une flèche 
pour dire que la fonction décroît.
Prenons un exemple.
Exemple
Traçons le tableau de variation de la fonction sinus f(x) = sin x sur [-π ; π].
On commence par faire un tableau de variation "blanc".
On voit bien que la fonction change de sens de variation pour x =
, puis pour x =
.
On voit bien que la fonction est décroissante de x = -π à x =, croissante de x = à x = et enfin décroissante de x = à x = π.
On remplis la deuxième colonne de la deuxième ligne avec les extrema f() = -1 et f() = 1, ainsi qu'avec les valeurs de f(-π) = 0 et f(π) = 0.
On commence par faire un tableau de variation "blanc".
On voit bien que la fonction change de sens de variation pour x =
, puis pour x =.
On voit bien que la fonction est décroissante de x = -π à x =
, croissante de x = à x = et enfin décroissante de x = à x = π.
On remplis la deuxième colonne de la deuxième ligne avec les extrema f(
) = -1 et f() = 1, ainsi qu'avec les valeurs de f(-π) = 0 et f(π) = 0.
Remarque
Quand on a une valeur interdite à inscrire dans un tableau de variations, on l'écrit dans la ligne des x, et on mets une double barre "||" dans la ligne des f(x) comme ceci-ci :
Ici, la valeur interdite est x = 1.
Ici, la valeur interdite est x = 1.
Remarque
A partir d'aujourd'hui, quand on vous demandera l'étude d'une fonction, vous devrez donner :
Eh oui, vous êtes au lycée à présent. Ca ne rigole plus !
- Son domaine de définition,
- Son tableau de variation,
- Son tableau de valeurs,
- Sa courbe représentative.
Eh oui, vous êtes au lycée à présent. Ca ne rigole plus !