Equations et inéquations

Equations et inéquations

Eh oui. Encore les équations et les inéquations. Chaque année nous reprenons cette notion et rajoutons des nouvelles propriétés. Après ce chapitre, vous serez opérationnel sur les équations et les inéquations. Vous saurez tout. Donc, n'en perdez pas une miette.

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Ce cours de maths Equations et inéquations se décompose en 3 parties.

  • 1. Equations et inéquations dans l'ensemble des réels

    Nous allons revenir sur les notions d'équation et d'inéquation.

    Définition

    Solution d'une équation ou inéquation Résoudre une équation ou une inéquation dans équations, c'est trouver sa solution, c'est-à-dire toutes les valeurs de inéquations qui rendent l'égalité ou l'inégalité vraie.


    Voici les règles, apprises en 3ème, sur la résolution d'équations et d'inéquations.

    Définition

    Résolution d'équations Deux principes fondamentaux pour la résolution d'équations :
    • Transposition : quand on fait passer un terme d'un membre (d'un côté) à l'autre dans une équation, on change son signe.

    • Multiplication et division : on peut multiplier (ou diviser) les deux membres de l'équation par un même nombre (non nul). Quand on fait passer un produit dans l'autre membre de l'équation, il devient quotient et inversement.

    Définition

    Résolution d'inéquations Deux principes fondamentaux pour la résolution d'inéquations :
    • Transposition : quand on fait passer un terme d'un membre (d'un côté) à l'autre dans une inéquation, on change son signe, comme pour les équations. L'inconnue sera placée du côté gauche.

    • Multiplication et division : on peut multiplier (ou diviser) les deux membres de l'équation par un même nombre (non nul). Quand on fait passer un produit dans l'autre membre de l'équation, il devient quotient et inversement. De plus : quand on multiplie ou on divise une inégalité par un nombre négatif, on change son sens.

    Voici un exemple de chaque, simples pour commencer.

    Exemple

    On va résoudre l'équation suivante :

    3(5x - 1) - (-x + 2) = 2


    On commence d'abord par développer tout ça, à simplifier quoi !

    3(5x - 1) - (-x + 2) = 2

    15x - 3 + x - 2 = 2

    16x - 5 = 2


    On range tout ça : les x d'un côté, et le reste de l'autre.

    16x = 2 + 5

    16x = 7


    On résout et on fini.

    Exemple

    Résoudre l'inéquation suivante :

    4x - 3 < 5x + 2


    Toujours pareil, on range tout ce bazars puis on simplifie. Je pense que vous commencez à prendre l'habitude.

    4x - 5x < 2 + 3

    -x < 5


    Et là attention : on va multiplier les deux côtés par (-1) donc on change le signe de l'inégalité : le "<" devient ">".

    x > -5


    On a fini.

    Quelques rappels sur un produit ou un quotient de facteurs nul.

    Propriété

    Produit et quotient de facteurs nul
    • Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

      produit de facteurs nul

    • Un quotient de facteurs est nul si et seulement si son numérateur est nul (son dénominateur étant toujours non nul).

      quotient de facteur nul

    Une équation sous forme de quotient ! Et comment je résout ça moi ?

    En suivant les étapes suivantes :

    • Vous déterminez les valeurs interdites,

    • Vous transformez l'équation sous forme d'un seul quotient,

    • Vous résolvez l'équation : numérateur = 0,

    • Enfin, vous aurez les solutions si elles ne sont pas des valeurs interdites.

    Exemple

    Nous allons résoudre l'équation suivante : équation à résoudre

    • Valeur interdite : valeur interdite. Donc 1 est la valeur interdite.

    • On veut un seul quotient :

      équation avec un quotient


    • On résout l'équation du numérateur nul.

      résoudre une équation


    • La valeur de x trouvée n'est pas la même que la valeur interdite.



      Donc la solution est :

      solution de l'équation


  • 2. Signe d'une inéquation

    Quand on a une inéquation, on voudra souvent savoir son signe en fonction de la valeur de x. C'est ce que nous allons voir dans cette section à travers un exemple.

    Exemple

    Etudions le signe de : (x - 1)(2x + 3)

    On va étudier le signe de chaque facteur de ce produit. Sachez que c'est exactement la même chose avec un quotient, on aurait alors étudier le signe du numérateur puis celui du dénominateur.
    • x - 1 = 0 <=> x = 1, donc x - 1 est nul pour x = 1, positif pour x > 1 et négatif pour x < 1.

    • 2x + 3 = 0 <=> x = , donc 2x + 3 est nul pour x = , positif pour x > et négatif pour x < .


    On trace alors le tableau de signes suivant :

    tableau de signes


    On met un 0 là où le facteur est nul.
    A droite de ce zéro on met des + et à gauche des -.
    Enfin, pour le produit des deux facteurs (la dernière ligne), on utilise la règle des produits de signes.

    Résumons :

    • Si on a un produit : A × B = 0, on résout A = 0 et B = 0.
      A est nul pour a, positif si x > a et négatif si x < a.
      B est nul pour b, positif si x > b et négatif si x < b.
      On fait le tableau de signes suivant : (supposons par exemple que a < b)

      tableau de signe de l'équation


      Attention, dans la ligne des x, on mets les nombres dans l'ordre croissant.
      Comme je l'ai expliquer avant, on met un 0 là où le facteur est nul.
      A droite de ce zéro on met des + et à gauche des -.
      Enfin, pour le produit des deux facteurs (la dernière ligne), on utilise la règle des produits de signes.

    • Si on a un quotient : équation avec quotient, on résout A = 0 et B = 0.
      A est nul pour a, positif si x > a et négatif si x < a.
      B est nul pour b, donc b est la valeur interdite, et B est positif si x > b et négatif si x < b.
      On fait le tableau de signes suivant : (supposons par exemple que a < b)

      tableau de signes


      On met une double barre pour la valeur interdite.
      Encore une fois, on met un 0 là où le facteur est nul.
      A droite de ce zéro on met des + et à gauche des -.
      Enfin, pour le quotient des deux terme (la dernière ligne), on utilise la règle des quotients de signes.

    Exemple

    Résoudre l'inéquation suivante : résolution d'une inéquation

    Suivez bien et vous comprendrez tout d'un coup.

    inéquation

    exemple de résolution d'une inéquation


    On décompose :



    Puis on établis le tableau de signes.

    tableau de signe d'une inéquation


    Le "Q" de la dernier ligne représente le quotient entier. Plutôt que de le réécrire en entier, on peut mettre un "Q" à la place (ou un "P" si ce n'était qu'un produit).

    Donc, la solution de l'inéquation est : S = ]-∞ ; -2] U ]-1 ; 0] U [2 ; +∞[

    Le "U" signifie "Union".

    Remarque

    Les bornes d'un intervalle sont toujours ouvertes quand on a un ∞ ou une valeur interdite.

  • 3. Résolution graphique d'équations et d'inéquations

    On peut également résoudre une équation ou une inéquation graphiquement. Il suffit de lire des abscisses des points d'intersection avec la courbe.

    Voyez l'exemple qui suit.

    Exemple

    On a représenté dans le même repère, en rouge la fonction sinus f(x) = sin x et en bleu la fonction cosinus g(x) = cos x dans l'intervalle [-3 ; 3].

    résolution graphique d'équations et d'inéquations


    Voici un tas d'équations et inéquations résolues graphiquement :

    f(x) = 0 <=> x = 0, quand es-ce que la fonction sinus (rouge) est nulle ? Quand la courbe intercepte l'axe des abscisses, soit en x = 0.
    g(x) = 0 <=> x = 1, quand es-ce que la fonction cosinus (bleu) est nulle ? Quand x = 1.

    f(x) < 0 <=> x > 0, quand es-ce que la fonction sinus (rouge) est négative ? Quand x est supérieur à 0.
    g(x) > 0 <=> x ∈ , quand es-ce que la fonction sinus (rouge) est négative ? Quand x appartient à l'intervalle .

    f(x) = g(x) <=> x ∈ {-2,4 ; 0,8} (attention ici, ce ne sont pas des intervalles, mais des ensembles). Quand es-ce que la fonction sinus est égale à la fonction cosinus ? Quand les deux courbes s'interceptent. Donc, en x = -2,4 et x = 0,8.

    f(x) < g(x) <=> x ∈ ]-2,4 ; 0,8[, quand es-ce que la fonction f est en dessous strictement de la fonction g ? De x = -2,4 à x = 0,8.
    f(x) ≥ g(x) <=> x ∈ [-3 ; -2,4] U [0,8 ; 3], quand es-ce que la fonction rouge est au-dessus de la fonction bleue ? Lorsque x est dans les intervalles [-3 ; -2,4] et [0,8 ; 3].

    Vous voyez que c'est facile !
    Allez, vous pouvez continuer à jouer comme cela avec deux autres fonction si vous voulez.

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