Vecteurs

Vecteurs

Nous avions déjà étudier les vecteurs l'année dernière. Cette année, nous n'allons plus beaucoup travailler à la construction, mais au calcul concernant les vecteurs. Donc, ranger votre crayons, sortez votre stylo et tenez-vous près.

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Ce cours de maths Vecteurs se décompose en 5 parties.

  • 1. Repérage dans le plan

    Commençons donc par la définition du repère du plan.

    Définition

    Repère On utilise un repère pour repérer un point dans le plan.
    Un repère est défini par trois points non alignés, généralement O, I et J :
    • O est l'origine du repère,

    • La droite (OI) est l'axe des abscisses,

    • La droite (OJ) est l'axe des ordonnées,

    • La longueur OI définit l'unité sur l'axe des abscisses,

    • La longueur OJ définit l'unité sur l'axe des ordonnées,

    Il existe plusieurs types de repères. Un repère peut avoir ses axes perpendiculaires ou non, de même longueur ou non.

    Définition

    Les différents repères Plusieurs repères à connaître.
    • Lorsque les axes d'un repère sont perpendiculaires, le repère est orthogonal.

    • Lorsque les axes d'un repère sont perpendiculaires et les unités identiques, le repère est orthonormal ou orthonormé.

    On parle de repère pour y placer des points.

    Définition

    Coordonnées d'un point Les coordonnées d'un point dans un repère sont constituées de deux nombres : une abscisse et une ordonnée.
    Si le point A a pour coordonnées 3 en abscisse et 2 en ordonnée, on note : A(3; 2).

    Exemple

    Dans ce repère, on a placé les points A(5, -1), B(2; 2), C(4; 0) et D(-2; 3).

  • 2. Coordonnées d'un vecteur

    On fixe un repère repère OIJ.

    Définition

    Coordonnées d'un vecteur Le vecteur vecteur u a pour coordonnées (x; y), que l'on note vecteur u (x; y), si : vecteurs en seconde

    Exemple

    Le vecteur vecteur u(5; -6) a pour abscisse 5 et pour ordonnée -6. Il fait trois pas vers la droite et six pas vers le bas.

    Vous comprendrez parfaitement que, pour que deux vecteurs soient égaux, il faut nécessairement qu'il aient la même abscisse et la même ordonnée.

  • 3. Longueur d'un vecteur

    Un vecteur est défini, rappelez-vous, par un sens, une direction et une longueur. Je vais vous définir maintenant la longueur d'un vecteur.

    Propriété

    Longueur d'un vecteur Soient A(xA; yA) et B(xB; yB) deux points du plan.
    Le vecteur vecteur AB a pour coordonnées :
    vecteur AB(xB - xA; yB - yA)

    Dans un repère orthonormal, la longueur AB est égale à :

    longueur d'un vecteur

    Exemple

    Soit les points du plan A(-3; 1) et B(2; 0).
    Le vecteur vecteur AB a pour coordonnées : vecteur AB = (2 + 3; 0 - 1) = (5; -1).
    Calculons sa longueur :
    exemple de calcul de la longueur d'un vecteur

  • 4. Opérations sur les vecteurs

    Un vecteur peut, bien évidemment, être additionner à un autre et multiplier par une constante.

    Propriété

    Opérations sur les vecteurs Soient les vecteurs vecteur u (x; y) et (x'; y').
    • Le vecteur vecteur u + a pour coordonnées (x + x'; y + y').

    • Le vecteur kvecteur u a pour coordonnées (kx; ky).

    Regardez bien l'exemple qui suit. Il est fondamental que vous sachiez le reproduire le soyeux fermés.

    Exemple

    Soient les points A(5; 3) et B(4; -1) du plan.
    Déterminer les coordonnées du point C tel que : vecteur AC = 3vecteur AB.

    On commence par définir les coordonnées du points C : soient (x; y) les coordonnées du point C.
    On cherche en fait x et y, deux inconnues.
    On part de l'équation de l'énoncé : vecteur AC = 3vecteur AB.
    Calculons vecteur AC puis vecteur AB.
    vecteur AC = (x - 5; y - 3) et vecteur AB = (4 - 5; -1 -3) = (-1; -4)

    En utilisant l'équation :
    opérations sur les vecteurs


    Ce qui nous donne les équations suivantes :
    x - 5 = -3

    y - 3 = -12


    Que l'on résout aisément.
    x = 2 et y = -9


    Donc, les coordonnées du point C sont : (2; -9).

  • 5. Colinéarité de deux vecteurs

    1 - Définition et propriété de la colinéarité

    C'est la nouveauté de cette année, celle qui va nous permettre de démontrer l'alignement et le parallélisme.

    Définition

    Vecteurs colinéaires Soient les vecteurs vecteur u et .
    Les vecteurs vecteur u et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que : vecteur u = k.

    Deux vecteurs sont colinéaire s'ils ont la même direction, le même sens, et s'ils sont proportionnels.

    Et comment on montre que deux vecteurs sont colinéaires ?

    J'allais y venir.

    Propriété

    Colinéarité de deux vecteurs Soient les vecteurs vecteur u(x; y) et (x'; y').
    Les vecteurs vecteur u et sont colinéaire si et seulement si : xy' - yx' = 0

    Exemple

    Les vecteurs vecteur u(1; 2) et (2; 4) sont colinéaires.

    En effet, on remarque que : vecteur u = 2.
    Cela se vérifie bien aussi comme ceci :
    1×4 - 2×2 = 4 - 4 = 0

    C'est toujours pareil. Si la différence xy' - yx' est nulle, les vecteurs sont colinéaires.

    2 - Parallélisme et alignement

    Comme je vous l'ai dit, la colinéarité va nous servir à démontrer le parallélisme, ainsi que l'alignement de points.

    Propriétés

    Parallélisme et alignement Deux propriétés, une sur l'alignement, une sur le parallélisme.
    • Soient A, B et C trois points distincts du plan.
      Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs vecteur AB et vecteur AC sont colinéaires.

    • Soient deux droites distinctes (AB) et (CD) du plan.
      Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs vecteur AB et sont colinéaires.

    La colinéarité de deux vecteurs signifie en fait que les vecteurs sont parallèles. Si les vecteurs sont colinéaires, alors les droites dont les vecteurs sont directeurs (les droites que dirigent chacun de deux vecteurs) sont parallèles.

    Pour démontrer l'alignement ou le parallélisme, il vous suffira de montrer la coliéarité. C'est tout.

    Exemple

    Soient les points A(5; 3), B(6; 2) et C(-2; 0).
    Les points A, B et C sont-ils alignés.

    Calculons les cordonnées des vecteurs vecteur AB et vecteur AC et voyons s'ils sont colinéaires. S'ils le sont, les points sont alignés car on a deux vecteurs colinéaires et un point en commun. Sinon, les points ne le sont pas.

    vecteur AB = (6 - 5; 2 - 3) = (1; -1) et vecteur AC = (-2 - 5; 0 - 3) = (-7; -3).

    Regardons maintenant la colinéarité : 1×(-3) - (-1)×(-7) = -3 -7 = -10 ≠0.

    Donc, les points A, B et C ne sont pas alignés.

    Je ne vous donne pas d'exemple sur le parallélisme, c'est la même chose. Vous calculez les coordonnées des vecteurs qui dirigent les droites dont vous voulez savoir si elles sont parallèles ou non. Si ces deux vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles, sinon tant pis.

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