Fonctions exponentielle

Fonction exponentielle

Après la fonction logarithme, attaquons la fonction exponentielle. Vous allez voir, elles sont très liées.

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Ce cours de maths Fonction exponentielle se décompose en 4 parties.

  • 1. Définition de la fonction exponentielle

    Commençons par un petit théorème avant la définition.

    Théorème

    Théorème exponentielle Si f est une fonction dérivable non nulle sur ensemble des réels vérifiant f(x + y) = f(x) × f(y) avec x, yensemble des réels, alors f(0) = 1 et pour tout réel x, f'(x) = k f(x)k = f'(0).

    Une fonction qui vérifie l'égalité f(x + y) = f(x) × f(y), vous en connaissez beaucoup, vous ? On connait seulement la fonction puissance. Oui, on a .
    La fonction exponentielle est construite de la même façon. Avec un exposant.

    Définition

    Fonction exponentielle Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur ensemble des réels telle que f' = f et f(0) = 1.
    Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle.
    On la note :

    f(x) = exp(x) = ex

    La variable x est l'exposant du nombre e définit au chapitre précédent.
    Vous noterez donc bien que la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle : (ex)'=ex.

    Ainsi que : e0 = 1.

    Oui, encore une fois, tous les nombres élevés à la puissance 0 valent 1.

    Vous aviez dit qu'il y avait un lien entre les fonctions logarithme et exponentielle. Je n'en vois pas ?

    Il existe une propriété qui lie les fonctions exponentielle et logarithme. En effet, se sont deux fonctions réciproques. Cela veut dire que si l'on compose un nombre par la fonction logarithme puis par la fonction exponentielle (ou inversement), on ne change rien au nombre de départ :

    eln x = x = ln (ex)


    De plus, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x comme vous le verrez dans peu de temps.

    Un dernier théorème avant de voir les propriétés de cette fonction extraordinaire.

    Théorème

    Théorème de la fonction exponentielle Soit kensemble des réels.
    Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur ensemble des réels telle que f' = kf et f(0) = 1.
    Cette fonction est ekx.

  • 2. Propriétés de la fonction exponentielle

    La fonction exponentielle vérifie : f(x + y) = f(x) × f(y)

    Soit : ea + b = ea × eb

    C'est la propriété fondamentale de cette fonction. Voici les autres.

    Propriétés

    Propriétés de la fonction exponentielle Voici un grand nombre de propriétés sur cette fonction exponentielle.
    • La fonction exponentielle est strictement croissante sur ensemble des réels.

    • Pour tout réel x, ex > 0.

    • Pour tout a, bensemble des réels,

      ea < eba < b

      ea = eba = b


    • Pour tout x > 0, eln x = x.

    • Pour tout réel x, ln (ex) = x.

    • La fonction exponentielle est dérivable sur ensemble des réels et pour tout réel x, (ex)' = ex.

    • Si u est une fonction dérivable sur ensemble des réels, alors :

      (eu)' = u'eu

    • Pour tout x, yensemble des réels,

      ex + y = exey

    • Pour tout réel x,

      e-x = 1
      ex


    • Pour tout x, yensemble des réels,

      ex - y = ex
      ey


    • Pour tout xensemble des réels et tout n,

      (ex)n = enx

    Ces propriétés sont primordiales. Cela doit être un automatisme pour vous.
    Vous deviez déjà en connaître certaines, relatives à la fonction puissance.

    Je veux juste insister sur une chose en particulier.
    Retenez ceci : la exponentielle est toujours positive. Elle peut, contrairement à sa soeur logarithme, "manger" du négatif, mais le résultat est toujours positif.

  • 3. Tracé de la fonction exponentielle

    Le domaine de définition de la fonction exponentielle est : ensemble des réels.
    On a dit que la dérivée de la fonction exponentielle était la fonction exponentielle :

    (ex)' = ex


    Or, la fonction exponentielle est toujours positive sur ensemble des réels. Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur cet intervalle, son domaine de définition.
    Traçons le tableau de variation.

    tableau de variations de la fonction exponentielle


    On en déduit aisément le tracé suivant.

    représentation graphique de la courbe exponentielle


    Regardez, si on trace les fonctions logarithme et exponentielle, ainsi que la droite d'équation y = x sur un même graphique...

    Courbes des fonction réciproques logarithme et exponentielle


    Oui, c'est symétrique, comme je vous l'avais dit.

  • 4. Etude des limites de la fonction exponentielle

    On termine avec les limites.

    Propriétés

    Limites de la fonction exponentielle étude des limites de la fonction exponentielle

    Je ne vous démontre pas ces formules de limites. Elles sont à savoir, toutes.
    Si vous n'avez pas directement une fonction de ces types ci, essayer de bidouiller un peu pour l'avoir.

    Exemple

    La limite de la fonciton étude de limite exponentielle en +∞ est +∞.

    En effet, on a pas directement la forme convenue. On va essayer de bidouiller un peu.
    Pour x ≠ 0,

    étude de fonction exponentielle


    Calculons les limites séparément.

    étude de limite de fonction exponentielle


    On a plus qu'à multiplier les limites entre elles : 1 × +∞ = +∞.

    fonction exponentielle

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