Suites numériques

Suites numériques

Nous avions déjà étudier la notion de suites numériques l'année dernière.
Je vais vous rappeler toutes les notions que l'on avait vu, et en rajouter.

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Ce cours de maths Suites numériques se décompose en 7 parties.

  • 1. Définition d'une suite numérique

    Qu'es-ce qu'une suite numérique ? Commençons pas cela.

    Définition

    Suite numérique Soient aensemble des naturels et , Ia est en fait l'ensemble des entiers naturels à partir de a.
    On appelle suite numérique la fonction u de Ia dans ensemble des réels telle que :

    définition d'une suite numérique


    Notation : On notera u(0) u0, u(1) u1, etc.
    un s'appelle terme de la suite numérique.

  • 2. Modes de définitions d'une suite numérique

    1 - Mode explicite d'une suite

    Il y a plusieurs façons de définir une suite numérique. C'est ce que nous allons voir dans cette section en commençant par le mode explicite à l'aide de fonction.

    Définition

    Mode explicite d'une suite Le terme général de la suite est exprimé en fonction de n :

    un = f(n)

    On remplace tout simplement le x de la fonction par le n de la suite.

    Exemple

    Si on veut représenter la suite un telle que suite inverse, cela ne sera rien d'autre que la fonction inverse prises aux abscisses entiers naturels.

    représentation graphique d'une suite

    Remarque importante

    Une suite numérique est définie de ensemble des naturels dans ensemble des réels. Donc, si l'on représente une suite sur un graphique, on n'aura que des abscisses naturels et des ordonnées réels. N'oubliez jamais cela. C'est une cause très fréquente d'erreur.

    2 - Mode récurrent d'une suite

    Le mode récurrent est plus utilisés pour les suites numériques.

    Définition

    Mode récurrent d'une suite Une suite numérique est définie par la donnée de son premier terme et d'un procédé qui permet de déterminer les suivants.

    mode récurrent d'une suite

    On utilise le terme u0 pour calculer u1, le terme u1 pour calculer u2, etc.

    Regardez l'exemple qui suit.

    Exemple

    Déterminer les cinq premiers termes de la suite numérique suivante :

    exemple de suites numérique


    Nous avons déjà u0 qui vaut 2. Utilisons-le pour déterminer u1 en utilisant la première ligne comme ceci :

    u1 = u0 + 3 = 2 + 3 = 5


    Facile, non ? Continuons ainsi pour les autres termes.

    u2 = u1 + 3 = 5 + 3 = 8
    u3 = u2 + 3 = 8 + 3 = 11
    u4 = u3 + 3 = 11 + 3 = 14


    Nous avons terminé.

    Nous avons donc toujours besoin du terme (n - 1) pour calculer le terme n ?

    Oui. Mais ne vous en faites pas, on ne vous demandera jamais de calculer le u1000 sans vous faciliter la tache.

    Nous pouvons aussi déterminer les termes de la suites graphiquement. Regardez l'exemple suivant.

    Exemple

    Déterminons graphiquement les quatre premiers termes de la suite numérique définie par :

    premiers termes d'une suites graphiquement


    Soit f la fonction définie par suite définie par une fonction. On a alors un + 1 = f(un).
    Traçons les courbes de f et la courbe d'équation y = x dans un même graphique.

    On représente exemple de suite sur l'axe des abscisses.
    On remonte à partir de l'abscisse u0 jusqu'à toucher la courbe. L'ordonnée du point d'intersection obtenu est noté u1.

    Maintenant, soyez attentif, nous allons tracer un trait horizontal à partir de l'ordonnée u1 jusqu'à toucher la courbe d'équation y = x. L'abscisse de ce point d'intersection est u1.
    On fera ainsi pour trouver tous les termes de la suite numérique.

    Je résume tout ça sur la courbe qui suit.

    représentation graphique d'une suite numérique

  • 3. Suite arithmétique

    On peut classer les suites numériques en fonction de l'évolution de leur terme.

    Voici une définition des suites dites arithmétiques.

    Définition

    Suite arithmétique On appelle suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r la suite définie par :

    définition d'une suite arithémtique

    Qu'es-ce que cela veut dire concrètement ?

    Je prend un exemple pour vous l'expliquer.

    Exemple

    Soit la suite numérique un définie par :

    exemple de suite arithmétique


    Cette suite est une suite arithmétique de raison 5.
    Si l'on calcule les cinq premiers termes de cette suite,

    u0 = 1
    u1 = u0 + 5 = 1 + 5 = 6
    u2 = u1 + 5 = 6 + 5 = 11
    u3 = u2 + 5 = 11 + 5 = 16
    u4 = u3 + 5 = 16 + 5 = 21

    Que remarquez-vous ?
    La différence de deux termes consécutifs est constante et égale à la raison 5. On augmente de 5 à chaque un suivant.

    Ah, donc avec des suites arithmétiques nous allons pouvoir calculer le terme u1000 sans avoir à calculer les 1000 termes précédents?

    OUI ! On peut le faite en utilisant seulement le u0 ou tout simplement, en prenant un autre terme de votre choix.

    Propriétés

    Propriétés des suites arithmétiques
    • Si u est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors :

      un = u0 + nr


    • Si u est une suite arithmétique, alors pour tout np,

      un = up + (n - p)r

    Exemple

    Dans l'exemple précédent, en utilisant la première formule, vous pouvez trouver le u4 par exemple :

    u4 = u0 + 4 × 5 = 1 + 20 = 21


    Ou en utilisant la deuxième :

    u4 = u2 + (4 - 2)× 5 = 11 + 2 × 5 = 11 + 10 = 21

    On vous demandera souvent de calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.

    Leur somme ? Et comment je fais ça moi?

    Ne paniquer pas, il y a une formule pour ça.

    Propriété

    Somme des termes d'une suite arithmétique Soit u une suite arithmétique.
    La somme des termes de cette suite est donnée par :

    somme d'une suite arithmétique

    Vous pouvez réutilisez directement cette formule. Néanmoins, il faut bien que vous la compreniez.

    exemple de somme d'une suite arithmétique


    Le symbole somme d'une suite signifie la somme de 0 à n de un, c'est-à-dire u0 + u1 + u2 + ... + un.
    La quantité (n + 1) signifie le nombre de terme (oui, tous les termes + le terme d'indice 0, ça fait n + 1).
    Le u0 est le premier terme et un est le dernier.

    Exemple

    Soit la suite numérique un définie par :

    exemple de somme d'une suite arithmétique


    Cette suite est arithmétique de raison 4.
    Calculons la somme des 100 premiers termes de cette suite.

    somme d'une suite arithmétique


    Il va falloir calculer le dernier terme voulu, soit . Aucun problème pour cela, on a la formule.

    u100 = u0 + 100 × 4 = 3 + 400 = 403


    Revenons à la formule de somme et concluons :

    suite arithmétique


    On peux vous demander de calculer la somme de tous les termes de la suite un en fonction de n. C'est pareil, sauf qu'on laisse le n tel quel.

  • 4. Suite géométrique

    Une autre catégorie de suite à présent, les suites dites géométriques.

    Définition

    Suite géométrique On appelle suite géométrique de premier terme u0 et de raison q la suite définie par :

    définition suite géométrique

    Puis-je avoir une définition concrète pour cette catégorie de suite aussi s'il-vous-plaît ?

    Si c'est demander si poliment.

    Exemple

    Soit la suite numérique un définie par :

    etude d'une suite géométrique


    Cette suite est une suite géométrique de raison 2.
    Si l'on calcule les cinq premiers termes de cette suite,

    u0 = 4
    u1 = 2 × u0 = 2 × 4 = 8
    u2 = 2 × u1 = 2 × 8 = 16
    u3 = 2 × u2 = 2 × 16 = 32
    u4 = 2 × u3 = 2 × 32 = 64

    Que remarquez-vous ici ?
    Le quotient de deux termes consécutifs est constant et égal à la raison 2. On multiplie de 2 à chaque un suivant.

    Il existe aussi des propriétés pour calculer le 1000ème terme sans passer par les 1000 premiers.

    Propriétés

    Propriétés des suites géométriques
    • Si u est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors :

      un = u0 qn

    • Si u est une suite géométrique, alors pour tout np,

      un = up qn - p

    Exemple

    Dans l'exemple précédent, en utilisant la première formule, vous pouvez trouver le u4 par exemple :

    u4 = u0 × 24 = 4 × 16 = 64


    Ou en utilisant la deuxième :

    u4 = u2 × 24 - 2 = 16 × 2² = 16 × 4 = 64

    Il y a également une formule pour calculer la somme de tous les termes d'une suite géométrique. La voici.

    Propriété

    Somme des termes d'une suite géométrique Soit u une suite géométrique.
    La somme des termes de cette suite est donnée par :

    somme d'une suite géométrique

    Vous pouvez aussi réutilisez directement cette formule. Mais il faut que vous la compreniez aussi bien que la précédente pour les suites arithmétiques.

    Exemple

    Soit la suite numérique un définie par :

    exemple de somme d'une suite géométrique


    Cette suite est géométrique de raison 1/3.
    Calculons la somme des 100 premiers termes de cette suite.

    calcul d'une somme d'une suite géométrique


    La quantité est tellement réduite que 51.
    On peux vous demander de calculer la somme de tous les termes de la suite un en fonction de n. C'est pareil, sauf qu'on laisse le n tel quel.

    Remarque

    On peut vous demander de montrer qu'une suite vn définie en fonction d'une autre suite (un) est géométrique.
    Dans ce cas, Il suffit de montrer qu'il existe qensemble des réels* tel que vn + 1 = qvn.

    Je vais vous donner un exemple pour vous montrer les directives à suivre.

    Exemple

    Soit la suite numérique un définie par :

    exemple suite géométrique


    Nous allons montrer que la suite vn = un - 3 est géométrique.
    Il suffit donc de montrer qu'il existe qensemble des réels* tel que vn + 1 = qvn.
    On part toujours de vn + 1,

    vn + 1 = un + 1 - 3 = 2un - 3 - 3 = 2un - 6


    On a utilisé la formule vn + 1 = un + 1 - 1 et remplacé les n par des n + 1.

    vn = un - 1


    Or :

    vn = un - 3 ⇔ un = vn + 3


    Donc :

    vn + 1 = 2un - 6 = 2(vn + 3) - 6 = 2vn + 6 - 6 = 2vn


    Conclusion : vn est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme :

    v0 = u0 - 3 = 1 - 3 = -2


    On peut alors écrire la chose suivante :

    vn = (-2) × 2n

  • 5. Propriétés d'une suite

    1 - Variations d'une suite numérique

    Comme les fonctions, les suites ont des variations.

    Définitions

    Variations d'une suite Soit un une suite numérique.
    • La suite (un) est dite croissante si :

      nensemble des naturels, unun + 1

    • La suite (un) est dite strictement croissante si :

      nensemble des naturels, un < un + 1

    • La suite (un) est dite décroissante si :

      nensemble des naturels, unun + 1

    • La suite (un) est dite strictement décroissante si :

      nensemble des naturels, un > un + 1

    • La suite (un) est dite stationnaire si :

      nensemble des naturels, un = un + 1

    Le symbole ∀ signifie "pour tout".

    Remarque

    Pour une suite numérique, on ne dit pas "constante" mais "stationnaire".

    Point méthode : Pour déterminer les variations d'une suite numérique, on calcule la quantité un + 1 - un,

    • Si un + 1 - un ≥ 0, la suite (un) est croissante,

    • Si un + 1 - un > 0, la suite (un) est strictement croissante,

    • Si un + 1 - un ≤ 0, la suite (un) est décroissante,

    • Si un + 1 - un < 0, la suite (un) est strictement décroissante,

    • Si un + 1 - un = 0, la suite (un) est stationnaire.

    Exemple

    La suite numérique un définie par un = n² est croissante.
    En effet :

    un + 1 - un = (n + 1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1 ≥ 0


    Car n est un naturel.
    Donc la suite un est croissante.

    Remarque

    Une suite n'est pas forcément croissante ou décroissante. Parfois, elle peuvent être ni croissante, ni décroissante. Un exemple type est la suite un = (-1)n.

    2 - Extremum d'une suite numérique

    Qui dit variations, dit extremum.

    Définitions

    Extremum d'une suite numérique Soit un une suite numérique.
    • La suite (un) est majorée si :

      Mensemble des réels / ∀ nensemble des naturels, unM


      M est appelé le majorant.

    • La suite (un) est minorée si :

      mensemble des réels / ∀ nensemble des naturels, unm


      m est appelé le minorant.

    • Une suite qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée.

    Le symbole ∃ signifie "il existe" et le symbole / signifie "tel que".

    Les notions de majoration et de minoration pour les suites numériques sont les mêmes qui pour les fonctions.

    3 - Théorèmes des suites - Croissance et convergence

    Quand on mêle variation et extrema, cela donne ça.

    Théorèmes

    Théorèmes des suites - Croissance et convergence Trois théorèmes.
    • Toute suite croissante et majorée converge.

    • Toute suite décroissante et minorée converge.

    • Soit un une suite définie par un + 1 = f(un).
      Alors, si un converge vers la limite l et si f est continue, alors l est solution de l'équation l = f(l).

    Les deux premiers théorèmes se comprennent très bien.

    Le premier par exemple. Prenez une suite qui croît mais qui est majorée. A un moment, en va s'écraser sur sa borne supérieur (son majorant). C'est obligatoire. Elle va donc converger.

    Tant au troisième théorème. Si la suite un converge vers un réel l, alors forcément, au bout d'un certain temps, le un + 1 ainsi que le un vont valoir l. C'est-à-dire que l'on aura f(un = l) = f(l) = un + 1 = l.

  • 6. Suites adjacentes

    Voilà une partie très intéressante sur les suites : les suites adjacentes.

    Définition

    Suites adjacentes Deux suites un et vn sont adjacentes si l'une est croissante et l'autre décroissante et si :

    définition suites adjacentes

    Remarque

    N'oubliez pas la condition avec la limite, elle signifie que les limites des deux suites sont égales.

    Regardez bien le graphique suivant.

    suites adjacentes


    La suite vn décroît, tandis que la suite un croît. Toutes les deux tendent vers la même limite 1. Se sont des suites adjacentes.

    Exemple

    Les suites suivantes sont adjacentes :

    exemple suites adjacentes


    En effet, déterminons les variations de ces deux suites.

    étude de suites adjacentes


    Donc la suite un est croissante.

    suites adjacentes


    Donc la suite vn est décroissante.
    Montrons que la limite de leur différence est nulle maintenant.



    Or,



    Donc, les suites un et vn sont adjacentes.

    Un petit théorème très puissant à savoir et à comprendre.

    Théorème

    Théorèmes des suites adjacentes Si deux suites un et vn sont adjacentes, avec un croissante et vn décroissante, alors :
    • Pour tout n, unvn,

    • Les deux suites convergent et ont la même limite L,

    • Pour tout n, unLvn.

    Cela se voit très bien si ont reprend le graphique précédent. On voit bien que les suites s'écrasent vers une même limite L, que l'une reste au dessus et l'autre en dessous, et donc que l'une est toujours au dessus de l'autre.

  • 7. Raisonnement par récurrence

    C'est sans doute, la partie la plus importante de cette année en analyse.
    Lorsque vous serez confronté à une question dans un exercice sur les suites, vous devrez toujours essayer cette méthode. C'est de par elle que l'on répond aux questions les plus compliquées.
    Voici son principe.

    Définition

    Raisonnement par récurrence Considérons une proposition dépendant d'un entier naturel n, que l'on nomme P(n).
    Le raisonnement par récurrence permet de démontrer que P(n) est vraie en trois étapes :
    • Etape 1 : On vérifie que la proposition est vraie pour un entier .

    • Etape 2 : On suppose que la proposition est vraie à un rang n > et on démontre qu'elle est vraie au rang n + 1, le rang suivant. Si c'est le cas, on dit que P(n) est héréditaire.

    • Etape 3 : On conclue que la proposition est vraie pour tout n.

    Prenons un exemple simple.

    Exemple

    Soit la suite un définie par :

    exemple raisonnement par récurrence


    Montrons par récurrence que un > 0.
    La proposition P(n) à démontrer est : un > 0.

    • Etape 1 : On vérifie que la proposition est vraie pour un entier n0.
      On a u0 = 2 > 0.
      Donc la proposition est vraie au rang 0.

    • Etape 2 : On suppose que la proposition est vraie à un rang n > et on démontre qu'elle est vraie au rang n + 1, le rang suivant.
      Supposons qu'au rang n, un > 0.
      Montrons qu'au rang n + 1, on a un + 1 > 0.

      un + 1 = un + 3 > 0


      Car un > 0 (hypothèse) et 3 > 0.
      La proposition est donc vraie au rang n, ainsi qu'au rang suivant.

    • Etape 3 : Conclusion : la proposition un > 0 est vraie pour tout n.

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