Dans ce cours sur les variables aléatoire en 1ère ES, je vais vous donner les définitions (suivies d'exemples) de la loi de probabilité, l'espérance, la variance et enfin l'écart type. Je vous explique également à quoi ces variables aléatoires correspondent.
Dans ce cours sur les variables aléatoires, je vais vous apprendre des formules importantes en probabilités : l'espérance, la variance et l'écart-type. Ces mots ne vous sont pas inconnus ? Normal, vous les avez déjà utilisé en statistiques durant les années précédentes. On commence ?
Définition d'une variable aléatoire
Commençons donc par la définition d'une variable aléatoire.
Définition
Variable aléatoire
Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.Loi de probabilité
Et la loi de probabilité maintenant. Vous verrez, vous connaissez déjà.
Propriété
Loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs :La loi de probabilité de X associe à chaque réel xn la probabilité P(X = xn).
Exemple
L'univers est l'ensemble des 32 cartes.
On définit la variable aléatoire X : tirer un As rapporte 10, tirer une figure rapporte et tirer une autre carte ne rapporte rien.
Les valeurs prises par la variable aléatoire sont : 0; 1; 10, c'est-à-dire :
On a alors :
{X = 10} = {As de ♥; As de ♦; As de ♣; As de ♠}
{X = 1} = {toutes les figures}
{X = 0} = {toutes les cartes sauf les As et les figures}
En probabilités, cela donne :
P({X = 10}) = 4/32 = 1/8
P({X = 1}) = 12/32 = 3/8
P({X = 0}) = 16/32 = 1/2
On représente généralement une loi de probabilité dans un tableau, comme ceci :
| xn | 0 | 1 | 10 |
| P({X = xn}) | 1/2 | 3/8 | 1/8 |
Espérance
Définissons à présent l'espérance d'une variable aléatoire.
Définition
Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X est le réel :
Sans le symbole de somme, cela donne ceci :
Petite propriété en plus.
Propriété
Propriété de l'espérance
Pour tous réels a et b :Variance
La variance.
Définition
Variance
La variance d'une variable aléatoire X est le réel :
En fait, l'expression de la variance est celle-ci :
Donc, avant de pouvoir calculer la variance d'une variable aléatoire, il va falloir calculer son espérance.
Propriété
Propriété de la variance
Pour tous réels a et b :Ca peut toujours servir...
Ecart-type
Une dernière petite définition, celle de l'écart-type.
Définition
Ecart-type
L'écart-type d'une variable aléatoire X est le réel :Donc, avant de pouvoir calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, il va falloir calculer sa variance après avoir préalablement calculer son espérance.