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Tableau des primitives usuelles
Cours terminale S

Dans ce cours, on entre dans le vif du sujet, avec le tableau des primitives usuelles à connaître sur le bout des doigts. Je vous donne ensuite un tas d'exemples pour exploiter chacune des formules de primitives usuelles.

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Comme pour les dérivées, vous devez connaître le tableau des primitives usuelles. Ayez toujours en tête que c'est le sens inverse de la dérivation.

tableau des primitives usuelles


Vous remarquerez bien que dans toutes les primitives, on retrouve la constante d'intégration C.

Je vais vous donner une poignée d'exemples.

Exemple 1

La primitive de la fonction f(x) = 5 est F(x) = 5x + C.
En effet, la fonction f correspond à la première formule avec k = 5.

Exemple 2

La primitive de la fonction est .
En effet, la fonction f correspond à la deuxième formule avec n = 4.
On augmente la puissance de la variable x de la fonction f de 1 degré : 4 + 1 = 5 et le nouveau degré obtenu sera aussi le nombre du dénominateur.

Exemple 3

La primitive de la fonction primitive usuelle est .
En effet, la fonction f correspond à la troisième formule.
C'est une fonction de la forme calcul de primitive avec un coefficient -3.
Donc la primitive est la fonction primitive d'une fonction avec un coefficient -3, soit :

exemple de calcul de primitive


On n'a pas besoin de multiplier la constante par -3 parce-que cela restera une constante à déterminée. En effet, C ou -3C reste une constante. Ce que l'on veut c'est une constante, un point c'est tout.

Exemple 4

La primitive de la fonction est F(x) = -3/x + C.
En effet, on applique la quatrième formule avec n = 2, et avec un coefficient de 3.

Exemple 5

La primitive de la fonction est .
En effet, on peut imaginer que la fonction f corresponde à la septième formule avec u(x) = -2x + 3 et n = 6 car on a un quotient de fonctions.
Mettons le coefficient 7 à part.

étude de primtivie


On retrouve facilement u' en dérivant u : u'(x) = (-2x + 3)' = -2

Cependant, ici, nous n'avons pas de -2 au numérateur. Il faut faire en sorte de l'avoir. On va donc multiplier le tout par pour avoir ce u'(x) = -2 au numérateur. Cela ne va rien changer car en réalité on multiplie par 1: .



Maintenant on peut appliquer la formule car la fonction est de la forme :

exemple de primitive d'une fonction


Avec u(x) = -2x + 3 et n = 6.
On laisse le facteur à part.
Appliquons la.

exemple primitive


Notons bien que la puissance, comme elle se trouve au dénominateur, diminue de 1 (6 - 1 = 5) et on obtient un facteur égal à la nouvelle puissance, soit 5, au dénominateur.

Ce dernier exemple est primordial. Vous devrez appliquer la même méthode à chaque fois, quand vous avez des fonction u(x).
Voici les étapes que je résume pour vous :

  • Vous trouvez la formule à appliquer en regardant si c'est un quotient, un produit, ou s'il y a une racine sur une fonction au dénominateur.

  • Trouver la fonction u(x).

  • Calculer la dérivée de cette fonction, soit u'(x), et essayer de multiplier la fonction par un nombre afin de faire apparaitre la forme que vous souhaitez.

  • Appliquer bêtement la formule sur la fonction sans le coefficient (celui qui vous a aidé à avoir la bonne forme).

Si vous savez faire ça, vous avez compris ce chapitre.

Tableau des primitives usuelles : 4/5 (5 avis)
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