Voici 4 équations :
(1) : 1 - (x - 3)² = 0
(2) : (2x - 3)² - (4x - 5)(x + 1) = 0
(3) : 16x² - 40x + 25 = 0
(4) : 3(x - 1)(3x + 5) = 0
(1) : 1 - (x - 3)² = 0
(2) : (2x - 3)² - (4x - 5)(x + 1) = 0
(3) : 16x² - 40x + 25 = 0
(4) : 3(x - 1)(3x + 5) = 0
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- En développant les membres de gauche, déterminer l'équation qui est du premier degré.
- Résoudre alors cette équation.
Développons donc, pour chacune des équations, le membre de gauche (celui avant le signe =).
- (1) : 1 - (x - 3)²
Il suffit d'utiliser les identités remarquables.
1 - (x - 3)² = 1 - (x² - 6x + 9)
On a laissé les parenthèses car il y a un signe "-" devant. Je vous rappelle que lorsqu'il y a un signe "-" devant des parenthèses, pour les enlever, on doit changer tous les signes à l'intérieur de la parenthèse. Donc, les "+" deviennent des "-" et inversement. On y va !
= 1 - x² + 6x - 9
On a plus qu'à ordonner.
= -x² + 6x - 8
C'est une équation du second degré car le degré le plus haut de x est 2. - (2) : (2x - 3)² - (4x - 5)(x + 1)
On utilise encore les identité remarquable pour (2x - 3)² et on développe tout simplement (4x - 5)(x + 1).(2x - 3)² - (4x - 5)(x + 1) = (4x² - 12x + 9) - (4x² + 4x - 5x - 5)
Il y a un signe "-" devant la seconde parenthèse, on change donc tous les signes à l'intérieur. Concernant la première parenthèse, on peut les enlever.= 4x² - 12x + 9 - 4x² - 4x + 5x + 5
Je vous ai coloré les x² en rouge et les x en bleu pour plus de facilité à tout calculer. Remarquez que l'ai coloré le signe qui va avec. On calcule donc et on ordonne.= -11x + 14
C'est une équation du premier degré car le degré le plus haut de x est 1.
Résolvons-la :-11x + 14 = 0
On fait passer le 14 de gauche en -14 à droite.-11x = - 14
On fait passer le -11 en multiplié de gauche en divisé par -11 à droite.x = -14/-11 = 14/11
Donc :S = {14/11}
- (3) : 16x² - 40x + 25
Pour cette équation, on ne peut rien faire. Elle est déjà développée au maximum.
C'est aussi une équation du second degré car le degré le plus haut de x est 2. - (4) : 3(x - 1)(3x + 5)
Encore un développement. On distribue les termes pour réduire l'expression. On commence par l'encadré vert.3(x - 1) (3x + 5) = (3x - 3) (3x + 5)
Puis le reste :(3x - 3)(3x + 5) = 9x² + 15x - 9x - 15
Je vous ai coloré les x² en rouge et les x en bleu pour plus de facilité à tout calculer. Remarquez que l'ai coloré le signe qui va avec. On calcule donc puis on ordonne.= 9x² + 6x - 15
C'est encore une équation du second degré car le degré le plus haut de x est 2.
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- Pourquoi résoudre l'équation (4) revient à résoudre l'équation (x - 1)(3x + 5) = 0 ?
- Résoudre alors cette équation.
Résoudre l'équation (4) revient à résoudre l'équation (x - 1)(3x + 5) = 0 car on peut diviser les deux termes de l'équation (à gauche et à droite) par 3 et ainsi faire disparaître le 3 en facteur à gauche. La division de 0 par 3 à droite donne toujours 0.
Résolvons donc l'équation demandée :(x - 1)(3x + 5) = 0
C'est un produit de facteur nul. Rappelez-vous comment on doit faire. d'abord la propriété.
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
Donc :x - 1 = 0 OU 3x + 5 = 0
x = 1 OU 3x = - 5
x = 1 OU x = -5/3
Donc :S = {1; -5/3} -
Pour les deux équations restantes, factoriser le membre de gauche puis résoudre ces équations.
Il nous reste donc les équations (1) et (3) à résoudre.
Commençons par la première.
Première question à se poser : a-t-on un facteur commun ? Non, aucun terme ne reviens. On va donc utiliser l'une des identités remarquables que je vous rappelle :a² - 2ab + b² = (a - b)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² + b² = (a - b)(a + b)
Laquelle allons-nous utiliser ? Dans notre équation, nous avons 2 termes : 1 et (x - 3). On va donc utiliser la 3ème identité remarquable car elle aussi n'a que 2 termes.
On y va. On a :a = 1 et b = x - 3
Maintenant, ce n'est que du recopiage :[1 - (x - 3)][1 + (x - 3)] = (1 - x + 3)(1 + x - 3) = (-x + 4)(x - 2)
On a factorisé l'expression, on peut à présent la résoudre avec le produit de facteur nul.
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
Donc :-x + 4 = 0 OU x - 2 = 0
-x = -4 OU x = 2
x = 4 OU x = 2
Donc :S = {4; 2}
Pour l'équation (3), que je vous rappelle :16x² - 40x + 25 = 0
On se pose les mêmes questions : a-t-on un facteur commun ? Non plus. On a 3 termes :16x² - 40x + 25 = 0
Donc on utilise l'une des deux premiers identités remarquables :a² - 2ab + b² = (a - b)²
a² + 2ab + b² = (a + b)²
Laquelle d'après vous ? Oui, la première, car on a un "-". Alors, on y va !
On trouve a et b en prenant respectivement la racine carrée du premier terme, 16x², et celle du dernier terme, 25.
Donc :a = √16x² et b = √25
Soit :a = 4x et b = 5
On a plus qu'à remplacer.(4x + 5)² = 0
On a factorisé l'expression, on peut à présent la résoudre avec le produit de facteur nul.
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
Donc :-4x + 5 = 0 (pas besoin de l'écrire deux fois !)
-4x = -5
x = -5/-4
x = 5/4
Donc :S = {5/4}