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Diviseurs communs et PGCD
Cours 3ème

Un cours sur les diviseurs communs en arithmétique, avec l'apprentissage de la notion de PGCD, plus grand diviseur commun, qui vous aidera à résoudre beaucoup de problèmes.

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1 - Définitions des diviseurs commun

Définissons d'abord la notion de PGCD (Plus Grand Commun Diviseur).

Définition

Diviseurs commun

On dit que d est un diviseur commun de deux nombres a et b s'il divise à la fois a et b.
Le plus grand diviseur commun de ces deux nombres s'appelle de PGCD.

Remarque

Le nombre 1 est toujours un diviseur commun de deux nombres. Lorsque c'est l'unique diviseur commun, on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux.

Exemple

Quelles sont les diviseurs communs de 12 et 20 ?

On écrit tous les diviseurs de 20 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 et 20.
On écrit tous les diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.
Les nombres 12 et 20 ont donc trois diviseurs communs : 1 ; 2 et 4.
Le PGCD de ces deux nombre est : PGCD(12 ; 20) = 4.

Donc pour savoir si deux nombres ont des diviseurs commun, on doit faire la liste de tous leurs diviseurs ? Et si ce nombre faire 12 chiffres ?

Non, ne vous inquiétez pas, il y a une méthode plus simple pour cela. Je vous l'explique tout de suite !

2 - Calcul du PGCD

Il existe deux méthodes pour le calcul du PGCD. Je vous conseille d'utiliser la deuxième. Cependant, je vais vous donner les deux.
La méthode de calcul de PGCD repose sur le principe suivant :

Propriété

Calcul du PGCD

Le PGCD de deux nombres est le même que le PGCD d'un des deux nombres et de leur différence.

Prenons un exemple de calcul de PGCD.

Exemple

Quel est le PGCD de 20 et 12 ?

Le PGCD de 20 et 12 est le même que le PGCD de 12 (le plus petit des deux nombres) et de 8 (20 - 12 = 8) :
PGCD(20 ; 12) = PGCD(12 ; 8)
Et on continu ainsi.

Le PGCD de 12 et 8 est le même que le PGCD de 8 (le plus petit des deux nombres) et de 4 (12 - 8 = 4) :
PGCD(12 ; 8) = PGCD(8 ; 4)

Puis :

PGCD(8 ; 4) = PGCD(4 ; 4) = 4
Donc le PGCD de 20 et 12 est 4.

La seconde méthode de calcul du PGCD est la méthode d'Euclide. Elle utilise les divisions Euclidiennes.

Exemple

Quel est le PGCD de 702 et 494 ?

PGCD(702 ; 494) = PGCD(494 ; 208)
Ici, on prend le plus petit nombre et le reste de la division de 702 par 494.

On continue.

PGCD(494 ; 208) = PGCD(208 ; 78) = PGCD(78 ; 52) = PGCD(52 ; 26) = PGCD(26 ; 0) = 26

Remarque

Le PGCD peut être utilise lorsque l'on veut rendre une fraction irréductible. En effet, il suffit de trouver le PGCD du numérateur et du dénominateur puis à simplifier la fraction par lui.

Cette calculatrice arithmétique permet de calculer le PGCD de deux nombres entiers.


3 - Résolution de problèmes en arithmétique

Et à quoi il peut bien servir ce PGCD ?

A résoudre des problèmes de la vie courante ! Si si, je vous assure. regardez plutôt.

Exemple

Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de manière à ce que :
  • Tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,

  • Tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,

  • Toutes les billes rouges et les billes noires sont utilisées.
Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser?

Imaginons que Marc commence par partager séparément les billes rouges et les billes noires.
Il utilise toutes les billes rouges donc le nombre de paquets de billes rouges est un diviseur de 108.
Il utilise toutes les billes noires donc le nombre de paquets de billes noires est un diviseur de 135.

Comme il doit assembler les paquets de billes rouges et noires, le nombre de paquets de billes rouges et de billes noires doit être identique.
Par conséquent ce nombre de paquets est un diviseur commun à 108 et 135.

Et en plus, Marc veut un maximum de paquets. Il doit partager les billes en :
PGCD(108;135)=27 paquets.

Voilà. Vous pouvez faire une pause à présent. Allez jouer aux billes !

Diviseurs communs et PGCD : 4/5 (10 avis)
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