Probabilités sur un ensemble fini

On démarre cette première partie avec les probabilités sur un ensemble fini dans laquelle je vais vous définir ou vous redéfinir le vocabulaire à employer lorsque l'on aborder les probabilités.

Ensembles

Définitions

Ensembles

Soit E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E.

L'ensemble A ∩ B est l'ensemble des éléments de E commun à A et B.

L'ensemble A ∪ B est l'ensemble des éléments de E qui appartiennent soit à A soit à B.

L'ensemble A est l'ensemble des éléments de E qui n'appartient pas à A.

Card(A) est le nombre d'éléments de A.

Il n'y a rien à dire pour le moment, ce ne sont que des définitions de rappelsn enfin j'espère...

Evénements

Les événements sont la notion principale en probabilité, vous allez comprendre pourquoi.

Evénements

Un événement est un ensemble d'éventualités.

Exemple

Toujours ce même exemple de dé à 6 faces. Oui, je vais vous bassiner avec cet exemple dans ce cours, mais c'est de loin le plus facile à utiliser car c'est celui que vous connaissez le mieux.

On va considéré l'événement E suivant : "obtenir un multiple de 3 ou de 5".

Quel chiffre (de 1 à 6) est multiple de 3 ou 5 ? Oui, 3 et 6 sont multiples de 3 et seul 5 est multiple de 5.

Je vais donc vous représenter l'ensemble des éventualités dans une patate et l'événement A qui contiendra les éventualités e₃, e₅ et e₆.

événements en probabilités

Evénements contraires

Rien qu'avec leurs noms, vous devez savoir de quoi ça parle

Evénement contraire

On appelle événement contraire de l'événement A, noté A, l'ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A.

La probabilité de l'événement contraire de A est égale à :

P(A) = 1 - P(A)

Vous en avez marre du lancé de dé ? Bon alors pour cette fois je vais vous prendre un autre exemple, mais pour cette fois seulement.

Exemple

Prenez un jeu de boules avec dans un sac 3 boules blanches et 3 boules noires.

Soit l'événement E suivant : "tirer une boule blanche".

L'événement contraire de E, que l'on note E est : "tirer une boule noire".

Evénements incompatibles

Là aussi, cela devrait vous parraître évident.

Evénements incompatibles

Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément.

Soient A et B deux événements incompatibles

P(A U B) = P(A) + P(B)

Cela se comprend très bien avec le dessin suivant.

Exemple

Les événements "avoir un 1" (toujours sur le lancé de dé oui) et "avoir un 6" sont incompatibles car on ne peut pas tomber sur le 1 et le 6 en même temps.

Propriétés des probabilités

Bon, revenons sur les différents propriétés apprises jusqu'ici et je vais même vous en ajouter une dernière, très importante.

Propriétés des probabilité

La probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

p(∅) = 0.

p(Ω) = 1.

p(A) = 1 - p(A).

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B).

Quelques exercices sur Probabilités sur un ensemble fini :