On commence par quelques rappels sur les équations et les inéquations avec des résolutions dans l'ensemble des réels.
Nous allons revenir sur les notions d'équation et d'inéquation.
Définition
Solution d'une équation ou inéquation
Résoudre une équation ou une inéquation dans
, c'est trouver sa solution, c'est-à-dire toutes les valeurs de qui rendent l'égalité ou l'inégalité vraie.
Voici les règles, apprises en 3ème, sur la résolution d'équations et d'inéquations.
Définition
Résolution d'équations
Deux principes fondamentaux pour la résolution d'équations :- Transposition : quand on fait passer un terme d'un membre (d'un côté) à l'autre dans une équation, on change son signe.
- Multiplication et division : on peut multiplier (ou diviser) les deux membres de l'équation par un même nombre (non nul). Quand on fait passer un produit dans l'autre membre de l'équation, il devient quotient et inversement.
Définition
Résolution d'inéquations
Deux principes fondamentaux pour la résolution d'inéquations :- Transposition : quand on fait passer un terme d'un membre (d'un côté) à l'autre dans une inéquation, on change son signe, comme pour les équations. L'inconnue sera placée du côté gauche.
- Multiplication et division : on peut multiplier (ou diviser) les deux membres de l'équation par un même nombre (non nul). Quand on fait passer un produit dans l'autre membre de l'équation, il devient quotient et inversement. De plus : quand on multiplie ou on divise une inégalité par un nombre négatif, on change son sens.
Voici un exemple de chaque, simples pour commencer.
Exemple
On va résoudre l'équation suivante :
3(5x - 1) - (-x + 2) = 2
On commence d'abord par développer tout ça, à simplifier quoi !
3(5x - 1) - (-x + 2) = 2
15x - 3 + x - 2 = 2
16x - 5 = 2
On range tout ça : les x d'un côté, et le reste de l'autre.
16x = 2 + 5
16x = 7
On résout et on fini.
On commence d'abord par développer tout ça, à simplifier quoi !
On range tout ça : les x d'un côté, et le reste de l'autre.
On résout et on fini.
Exemple
Résoudre l'inéquation suivante :
4x - 3 < 5x + 2
Toujours pareil, on range tout ce bazars puis on simplifie. Je pense que vous commencez à prendre l'habitude.
4x - 5x < 2 + 3
-x < 5
Et là attention : on va multiplier les deux côtés par (-1) donc on change le signe de l'inégalité : le "<" devient ">".
x > -5
On a fini.
Toujours pareil, on range tout ce bazars puis on simplifie. Je pense que vous commencez à prendre l'habitude.
Et là attention : on va multiplier les deux côtés par (-1) donc on change le signe de l'inégalité : le "<" devient ">".
On a fini.
Quelques rappels sur un produit ou un quotient de facteurs nul.
Propriété
Produit et quotient de facteurs nul
- Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
- Un quotient de facteurs est nul si et seulement si son numérateur est nul (son dénominateur étant toujours non nul).
Une équation sous forme de quotient ! Et comment je résout ça moi ?
En suivant les étapes suivantes :
- Vous déterminez les valeurs interdites,
- Vous transformez l'équation sous forme d'un seul quotient,
- Vous résolvez l'équation : numérateur = 0,
- Enfin, vous aurez les solutions si elles ne sont pas des valeurs interdites.
Exemple
Nous allons résoudre l'équation suivante : 
- Valeur interdite :
. Donc 1 est la valeur interdite. - On veut un seul quotient :
- On résout l'équation du numérateur nul.
- La valeur de x trouvée n'est pas la même que la valeur interdite.
Donc la solution est :
Quelques exercices sur Equations et inéquations dans l'ensemble des réels :