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Les nombres complexes en géométrie

Cours de maths terminale S

Et si on liait nombres complexes et géométrie ? C'est le but de ce cours. En effet, nous allons voir que la géométrie et les nombres complexes ont un lien. Vous comprendrez toutes les propriétés de cette partie grâce aux exemples.

Les nombres complexes vont nous aider à montrer que des droites sont parallèles ou encore que des points sont alignés.
Rappelez-vous toujours que un point M d'affixe z = a + ib peut être placer dans un plan tel que son abscisse soit a et son ordonnée b.

Propriétés

Géométrie et nombres complexes

 Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives a, b et c.
  • Le vecteur vecteur AB a pour affixe (b - a).

  • La longueur AB vaut le module de l'affixe du vecteur vecteur AB : AB = |b - a|

  • L'argument du vecteur vecteur AB est l'argument de son affixe :

  • L'angle formé par les vecteurs vecteur et nombres complexes et est : argument et vecteurs

Faites bien attention, les nombres a, b et c sont complexes, de la forme : a = x + iy avec x, y ∈ .

Exemple

Soit les points A et B d'affixes respectives 4i et √3 + 3i.

L'affixe du vecteur vecteur AB est : √3 + 3i - 4i = √3 - i.

La longueur AB vaut :

calcul de longueur

L'argument du vecteur vecteur AB est : arg(√3 - i) = θ tel que : , c'est-à-dire -.
Donc,

Voici un petit exemple de lieu géométrique.

Exemple

Déterminer le lieu géométrique suivant tel que pour tout point M du plan d'affixe z :

{M(z) ∈ P, |z + 4| = |z - 2i|} = {M(z) ∈ P, |z - (-4)| = |z - 2i|} = {M(z) ∈ P, AM = BM} = droite D


Avec A(-4; 0) et B(0; -2).
Le lieu recherché est la droite droite D, médiatrice du segment [AB], car on a tout le temps AM = BM, c'est la définition de la médiatrice.

Alors oui, pour déterminer des lieux géométriques, il faut connaître parfaitement sa géométrie.

On va pouvoir, comme je vous l'ai dit tout à l'heure, démontrer que des droites sont parallèles et bien plus encore.

Propriétés

Nombres complexes en géométrie

 Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan d'affixes respectives a, b, c et d et k ∈ .
  • Les points A, B et C sont alignés si (vecteur AB; ) = kπ, soit .

  • Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires si (vecteur AB; ) = droites perpendiculaires + kπ, soit .

  • Les points A, B, C et D sont sur un même cercle si complexe et géométrie.

Les points sont alignés si l'angle qu'ils forment est plat, soit égal à π.

Les droites sont perpendiculaires si l'angle qu'elles forment est égal à , soit droit.

Quatre points sont sur un même cercle si les angles qui interceptent le même arc sont égaux.

Exemple

Les points A, B et C, d'affixes respectives a = 1 + i, b = 3 - i et c = 5 - 3i, sont-ils alignés?

Calculons :

montrer que des points sont alignés

L'argument d'un réel est toujours égal à π. Si l'affixe d'un point est réelle, le point se situe sur l'axe des abscisses, donc son argument est égal à π forcément, l'angle est plat.
Donc, les points A, B et C sont alignés.

Retenez le résultat de cet exemple : Si l'affixe est réelle, alors l'argument est égal à π et les points sont alignés.


Quelques exercices sur Les nombres complexes en géométrie :