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Limites de suites

Cours de maths terminale S

Voici un cours complet sur les limites des suites numériques dans lequel je vous donne les définitions de la convergence et de la divergence, les théorèmes de comparaison, dont le fameux théorème des gendarmes, mais aussi les propriétés des opérations algébriques sur les limites. Sans oublier le cas particulier des limites de suites géométriques.

1 - Convergence et divergence de suites

Que peut faire une suite, au fur et à mesure des n croissants?
Réponse :

  • Soit tendre vers un réel,
  • Soit tendre vers l'infini,
  • Soit elle ne tend vers rien.

Définitions

Convergence et divergence de suites
  • On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini.
    On note alors :

    convergence de suites


    L est la limite de la suite un et elle est unique.

  • Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.

Explication : Si plus on va dans les n grands, plus la suite se rapproche d'un nombre, que l'on va désigné par le réel L, alors on dira que la suite est convergente vers le réel L.
Autrement dit, et en reprenant les termes de la définition, à partir d'un certain rang n, tous les termes de la suites tendent vers le réel L.
Si la suite ne se rapproche d'aucun réels, alors elle est divergente.
Mais attention : une suite divergente admet soit une limite infinie, soit aucune limite.
On dira qu'une suite un admet pour limite +∞ si tout intervalle ouvert ]a ; +∞[ contient tous les termes de la suite un à partir d'un certain rang p. C'est-à-dire qu'à partir d'un certain nombre, que l'on désigne par a, les termes de la suite tendent vers l'infini.

Exemple

La suite suite convergente tend vers 0.
En effet, cela se voit bien quand on calcule les premiers termes de la suite :

exemple de suite convergente

On doit calculer tous les termes de la suite pour savoir si elle converge ou pas ?

Non, pas du tout. Il faut tout de même en calculer quelques uns pour avoir une idée de la limite.
Regardez bien mon raisonnement qui peut paraître complexe la première fois.

Tout intervalle qui contient 0 contient également l'intervalle ]-a ; a[ avec a > 0, c'est de la pure logique.
Maintenant, si un ∈ ]-a ; a[, alors :



Donc, tous les termes de la suite un sont contenus dans l'intervalle ]-a ; a[ dès que n est supérieur à .
Conclusion : la suite un converge vers 0.

Ne vous inquiétez pas, nous aurons des méthodes bien plus simples et plus rapides pour montrer la convergente ou la divergence d'une suite.

Et pour les suites divergentes ?

Exemple

La suite un = (-1)n est divergente. C'est l'exemple type.
En effet : la suite ne fais que osciller autour de 0 en prenant successivement les valeurs 1 et (-1).

Une dernière propriété, très simple en plus.

Propriété

Propriété de convergence

 Une suite un converge vers L revient à dire que la suite (un - L) converge vers 0.

Remarque

Les expressions "la suite tend vers" et "la suite a pour limite" sont équivalentes.

2 - Théorèmes de comparaison

Nous allons attaquer les théorèmes de comparaison qui vont nous aider à montrer la convergence ou la divergence d'une suite.
Cette partie est très importante, concentrez-vous bien.
Dans les théorèmes que je vais vous énoncer, il y a beaucoup de conditions pré-requises. Si une d'entre elles manquent, le théorème ne peut être appliqué.

a - Théorème des gendarmes

p> On débute par le critère de comparaison, appelé le théorème des gendarmes, vous comprendrez pourquoi.

Théorème

Théorème des gendarmes

 Soient un, vn et wn trois suites numériques telles que un et wn convergent vers L.
Si un ≤ vn ≤ wn à partir d'un certain rang, alors la suite vn converge vers L.

Une conséquente immédiate de ce résultat est le suivant :

Si à partir d'un certain rang on a |un - L| ≤ vn avec , alors la suite un converge vers L.

Je vais vous appliquer ce théorème très puissant sur un exemple afin que vous saisissiez absolument tout.

Exemple

La limite de limite de suite est 0.
En effet : on sait que :

critère de compaison


C'est la propriété fondamentale de trigonométrie. Si par malheur vous ne la connaissiez pas, je vous aurais arraché la tête ! Continuons...
On va diviser par n tous les membres de l'inégalité.

théorème des gendarmes


On a donc trois suites : exemple de théorème des gendarmes.
Or,



On a toutes les conditions pour appliquer le théorème des gendarme.
Conclusion, la suite converge vers 0.

b - Critère de divergence

La divergence à présent.

Théorème

Critère de divergence

 Soient un et vn deux suites numériques telles que un ≤ vn à partir d'un certain rang.

critère de divergence

Cela se comprend assez bien.
Si la limite de la suite un est +∞ et que la suite vn est plus grande que la suite un, alors la limite de vn sera plus grande que celle de un. Plus grand que +∞ cela ne peut être que +∞.
Si la limite de la suite vn est -∞ et que la suite un est plus petite que la suite vn, alors la limite de un sera plus petite que celle de vn. Plus petit que -∞ cela ne peut être que -∞.

Exemple

La suite un = (3 + (-1)n)n² diverge vers +∞.
En effet, on a :

3 + (-1)n ≥ 2


On multiple l'inégalité par n² (positif, donc ne change aucun signe),

(3 + (-1)n)n² ≥ 2n²


Or :

limite de suite numérique


Donc :

limite de suites

3 - Opérations algébriques sur les limites

Quelques opérations algébriques sur les suites et leurs limites.

Propriétés

Opérations algébriques sur les limites de suites

 Soient un et vn deux suites numériques convergentes de limites respectives L et L'.
    La suite (un + vn) est convergente et sa limite est égale à L + L',
  • La suite (un vn) est convergente et sa limite est égale à L L',

  • Si L' ≠ 0, la suite est convergente et sa limite est égale à ppérations algébriques sur les suites,

Ces opérations sont très simples. Gagnons du temps et ne donnons pas d'exemple.

4 - Limites de suites et de fonctions

Nous allons étudier le cas où la suite un est définie explicitement à l'aide d'une fonction f.

Propriétés

Limites de suites et de fonctions

 Soient f une fonction définie sur ]a ; +∞[ et un = f(n) une suite définie à partir de n > a.
Si f admet en +∞ une limite finie, ou infinie, alors la suite un admet la même limite.

C'est logique, vu que la suite est définie par une fonction.
On a juste remplacé le x de la fonction par le n de la suite.

Exemple

La suite exemple opération sur les suites a pour limite 3.
En effet : soit f la fonction .
On a un = f(n).
Or,

opérations sur les suites numériques


Oui, car et . Par addition, on a le résultat que l'on voulait.
Donc :

opérations sur les limites de suites

Remarque

On a car plus le x est grand (plus il tend vers l'infini), plus la fraction sera petite (plus elle va tendre vers 0).

5 - Cas des suites géométriques

Heureusement, les suites géométriques sont plus simples à étudier.

Théorème

Limites de suites géométriques

 Soit q ∈ - {0 ; 1} (un réel non nul et différent de 1).
  • Si -1 < q < 1, alors la suite qn converge vers 0,

  • Si q > 1, alors la suite qn diverge vers +∞,

  • Si q = 1, alors la suite qn converge vers 1,

  • Si q ≤ -1, alors la suite qn n'a pas de limite.

Ce théorème est très explicite. Pas besoin donc de donner un exemple.

Voilà, nous avons fini sur les suites pour cette année !