Les propriétés des primitives sont énoncés dans ce cours de maths. Bien évidemment, elles sont suivies d'exemples d'application pour que vous compreniez tout.
Voici trois propriétés simples.
Propriétés
Propriétés des primitives
- Soient f une fonction définie sur un intervalle I admettant une primitive F sur I et C ∈
.
Alors l'ensemble des primitives de f sont les fonctions G définies sur I de la forme : G(x) = F(x) + C - Soient f une fonction définie sur un intervalle I et admettant des primitives et x0 ∈ I et y0 ∈ .
Il existe une unique primitive F de f sur I vérifiant F(x0) = y0. - Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I.
La première propriété indique que lorsque l'on primitive une fonction, on a une constante. Cela se voit très bien car lorsque l'on dérive une fonction avec une constante, cette constante disparait. On doit donc la faire réapparaître.
Exemple
La fonction f(x) = 2x +1 a pour dérivée f'(x) = 2. Vous voyez bien que l'on a plus le 1.
Si je calcule la primitive, je trouve (vous saurez le faire dans quelques instants) : F(x) = 2x + C.
Sans le C, on ne retombe pas sur la fonction initiale f.
Nous trouverons la constante C réelle par d'autres moyens.
N'oubliez pas cette constante appelée constante d'intégration quand vous calculez une primitive, elle est très importante.
Si je calcule la primitive, je trouve (vous saurez le faire dans quelques instants) : F(x) = 2x + C.
Sans le C, on ne retombe pas sur la fonction initiale f.
Nous trouverons la constante C réelle par d'autres moyens.
N'oubliez pas cette constante appelée constante d'intégration quand vous calculez une primitive, elle est très importante.
Remarque
Cette constante peut être nulle parfois.
La seconde propriété montre que pour un antécédent (ici x0), la fonction admet une seule primitive. Pas de problème.
La dernière explique simplement qu'il suffit qu'une fonction soit continue sur un intervalle pour avoir une primitive.
La seconde propriété montre que pour un antécédent (ici x0), la fonction admet une seule primitive. Pas de problème.
La dernière explique simplement qu'il suffit qu'une fonction soit continue sur un intervalle pour avoir une primitive.
Quelques exercices sur Propriétés des primitives :