Cours

Propriétés d'une suite

Cours de maths terminale S

Toutes les propriétés des suites numériques sont dans ce cours de maths de terminale S : variations, extremum et les théorèmes des suites, croissance et convergence (très important).

1 - Variations d'une suite numérique

Comme les fonctions, les suites ont des variations.

Définitions

Variations d'une suite

 Soit un une suite numérique.
  • La suite (un) est dite croissante si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un ≤ un + 1

  • La suite (un) est dite strictement croissante si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un < un + 1

  • La suite (un) est dite décroissante si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un ≥ un + 1

  • La suite (un) est dite strictement décroissante si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un > un + 1

  • La suite (un) est dite stationnaire si :

    ∀ n ∈ ensemble des naturels, un = un + 1

Le symbole ∀ signifie "pour tout".

Remarque

Pour une suite numérique, on ne dit pas "constante" mais "stationnaire".

Point méthode : Pour déterminer les variations d'une suite numérique, on calcule la quantité un + 1 - un,

  • Si un + 1 - un ≥ 0, la suite (un) est croissante,

  • Si un + 1 - un > 0, la suite (un) est strictement croissante,

  • Si un + 1 - un ≤ 0, la suite (un) est décroissante,

  • Si un + 1 - un < 0, la suite (un) est strictement décroissante,

  • Si un + 1 - un = 0, la suite (un) est stationnaire.

Exemple

La suite numérique un définie par un = n² est croissante.
En effet :

un + 1 - un = (n + 1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1 ≥ 0


Car n est un naturel.
Donc la suite un est croissante.

Remarque

Une suite n'est pas forcément croissante ou décroissante. Parfois, elle peuvent être ni croissante, ni décroissante. Un exemple type est la suite un = (-1)n.

2 - Extremum d'une suite numérique

Qui dit variations, dit extremum.

Définitions

Extremum d'une suite numérique

 Soit un une suite numérique.
  • La suite (un) est majorée si :

    ∃ M ∈ ensemble des réels / ∀ n ∈ ensemble des naturels, un ≤ M


    M est appelé le majorant.

  • La suite (un) est minorée si :

    ∃ m ∈ ensemble des réels / ∀ n ∈ ensemble des naturels, un ≥ m


    m est appelé le minorant.

  • Une suite qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée.

Le symbole ∃ signifie "il existe" et le symbole / signifie "tel que".

Les notions de majoration et de minoration pour les suites numériques sont les mêmes qui pour les fonctions.

3 - Théorèmes des suites - Croissance et convergence

Quand on mêle variation et extrema, cela donne ça.

Théorèmes

Théorèmes des suites - Croissance et convergence

 Trois théorèmes.
  • Toute suite croissante et majorée converge.

  • Toute suite décroissante et minorée converge.

  • Soit un une suite définie par un + 1 = f(un).
    Alors, si un converge vers la limite l et si f est continue, alors l est solution de l'équation l = f(l).

Les deux premiers théorèmes se comprennent très bien.

Le premier par exemple. Prenez une suite qui croît mais qui est majorée. A un moment, en va s'écraser sur sa borne supérieur (son majorant). C'est obligatoire. Elle va donc converger.

Tant au troisième théorème. Si la suite un converge vers un réel l, alors forcément, au bout d'un certain temps, le un + 1 ainsi que le un vont valoir l. C'est-à-dire que l'on aura f(un = l) = f(l) = un + 1 = l.


Quelques exercices sur Propriétés d'une suite :