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Valeur absolue
Cours seconde

Ce cours sur les valeurs absolues vous introduira cette notion et l'appliquera à travers des exemples de calculs mais aussi sur des droites graduées.

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Définition de la valeurs absolue

Voilà une notion nouvelle que je vais vous définir.

Définition

Valeur absolue

Soit une droite graduée d'origine O et un point M d'abscisse x.
On appelle valeur absolue de x, que l'on note |x|, sa distante à l'origine, soit la distance OM.

Or, une distance est toujours positive. Donc :

Propriété

Propriété de la valeur absolue

Une valeur absolue est toujours positive : |x| ≥ 0

Comment on calcule une valeur absolue ?

Il suffit de connaître son signe :

  • |a - b| = a - b si a > b,

  • |a - b| = -(a - b) = b - a si a < b.

Y a-t-il une relation entre la distance entre deux points et les valeurs absolues ?

Oui, oui, oui !

Propriété

Distance sur une droite graduée

Soient une droite graduée d'origine O et deux points A(a) et B(b).
La distance entre les points A et B est :
AB=|a - b| = |b - a|
On fait : le plus grand moins le plus petit.

Exemple

Soient les points A(3) et B(-2). Calculer AB.
AB=| (-2)| = |3 + 2| = |5| = 5 car 3 > (-2).
Terminé.

Intervalles et valeurs absolues

On va rejoindre les notions d'intervalle et de valeur absolue.

Propriété

Intervalles et valeurs absolues

Soit a un réel et r un réel positif.
Si on a |x - a| ≤ r, alors x ∈[a - r ; a + r].

Ces notions sont importantes pour la résolution d'équations et d'inéquations avec des valeurs absolues.

Comment ça se résout ça ?

Point méthode :

  • Equations : |x + a| = bx + a = b OU x + a = -b.


  • %%%%%%%%%%%% DROITES GRADUEES %%%%%%%%%%%%%%%

  • Inéquations supérieurs (ou égal) : |x + a| > bx + a > b ET x + a < -b.


  • %%%%%%%%%%%% DROITES GRADUEES %%%%%%%%%%%%%%%

  • Inéquations inférieurs (ou égal) : |x + a| < b ⇔ -b < x + a < b.


  • %%%%%%%%%%%% DROITES GRADUEES %%%%%%%%%%%%%%%


Que se soit les signes < ou ≤ et > ou ≥, c'est la même chose.

Regardez les exemples qui suivent, ils expliquent tous les calculs sur la résolution d'équations et d'inéquations faisant intervenir des valeurs absolues.

%%%%%%%%%%%% DROITES GRADUEES DANS LES EXEMPLES %%%%%%%%%%%%%%%

Exemples

Résoudre l'équation |x + 2| = 4.
On a donc : x + 2 = 4 ou x + 2 = -4.
On a plus qu'à résoudre et on trouve : x = 2 ou x = -6.

Résoudre l'inéquation |x - 1| > 2.
On a donc : x - 1 > 2 et x - 1 < -2.
On résout : x > 3 et x < -1.
Donc : x ∈ ]-∞ ; -1[ U ]3 ; +∞[.
On met des intervalles ouvert car on a des strictement positifs (>) et strictement négatifs (<).

Résoudre l'inéquation |x| ≤ 2.
On a donc : -2 ≤ x ≤ 2.
Mais on ne veut encadre que le x. On soustrait (-3) à toute l'inégalité : -5 ≤ -x ≤ -1.
On multiplie tout par (-1) en faisant attention de changer les signes et on gagné : 1 ≤ x ≤ 5.
Donc : x ∈ [1 ; 5].
Cette fois ci, on met des intervalles fermé car on a les signes ≤.

Valeur absolue : 4/5 (10 avis)
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