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Triangles isométriques
Cours seconde

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1 - Définitions des triangles isométriques

On va parler ici de triangles isométriques. Les deux mots sont au pluriel. Cela vous donne déjà un indice quand à la définition que je vais vous donner.
Mais d'abord, dans triangles isométriques, on a le mot "isométrique" qui vient du mot "isométrie". Je vais vous définir cela.

Définition

Isométrie

Une isométrie est une transformation qui conserve les distances.

Exemple

La translation et la rotation sont des isométries. Les symétries centrales et axiales aussi.

Vous devez avoir maintenant une idée de ce que sont deux triangles isométriques. Non, Toujours pas ?

Définition

Triangles isométriques

Deux triangles sont isométriques si l'un est l'image de l'autre par une ou plusieurs isométries successives.


En fait, deux triangles isométriques sont deux triangles qui ont les côtés égaux. Se sont deux triangles parfaitement égaux, qui ont simplement était retourné, ou inverser, etc.

Exemple

Les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques car ils sont images l'un de l'autre par la symétrie d'axe (DE).

triangles isométriques

2 - Propriétés des triangles isométriques

Après la définition, vous vous doutez bien que ces triangles ont des belles propriétés. Eh bien, allons-y.

Propriétés

Propriétés des triangles isométriques

Voici les propriétés pour montrer que deux triangles sont isométriques.
  • Si deux triangles ont leurs trois côtés égaux, alors ils sont isométriques.

  • Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.

  • Si deux triangles ont un côté égal et deux angles égaux, alors ils sont isométriques.

Résumons. Pour démontrer que deux triangles sont isométriques il faut, au choix :

  • Trois côtés égaux,
  • Un angles et les deux côtés égaux,
  • Un côté et deux angle égaux.

Et pour montrer tout cela, vous avez la panoplie de propriétés et de théorèmes que je vous ai récapitulé au chapitre précédent.

Exemple

Soit le parallélogramme ABCD suivant. (AE) est la bissectrice de l'angle angle DAB et on a DA = AF.

propriétés des triangles isométriques

Montrons que les triangles ADF et FDE sont isométriques.

On sait que la droite (AE) est bissectrice de l'angle triangles isométriques et semblables. Donc, les angles et exemple de triangles isométriques sont égaux.
De plus, d'après l'énoncé, les côtés [DA] et [AF] sont égaux.
Les triangles DAE et EAF ont un côté en commun, [AE].
On a donc deux côtés égaux et un angle égaux.
On peut donc en conclure que les triangles ADE et AFE sont isométriques.

Voici un exemple un peu plus compliqué.

Exemple

Soit la figure suivante :

triangles isométriques


On considère un triangle ABC. Le point D est le milieu du côté [BC].
Les droites (AD) et (BG) sont perpendiculaire.
Les droites (AD) et (CH) sont perpendiculaire.
Montrer que les triangles BDG et DCH sont isométriques.

D'après l'énoncé, le point D est le milieu du segment [BC]. Donc on a : BD = DC.
De plus, les triangles BDG et DCH sont rectangles, ils ont donc un angle égaux, égal à 90°.
Ensuite, les angles angle égaux et , étant opposés par leur sommet, sont égaux : = .
On a gagné. Je rajoute juste que dans un triangle, la somme des angles étant égale à 180°, on a en fait les trois angles des deux triangles égaux.
Trois angles et un côté égaux, on peut conclure que les triangles BDG et DCH sont isométriques.

Triangles isométriques : 4/5 (2 avis)
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