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Les puissances
Cours terminale ES

Un cours complet sur les puissances. Propriétés et exemples d'étude de fonctions puissances, je vous dis tout et vous prépare pour la partie suivante : la fonction exponentielle. Une chose importante dans ce cours, en particulier, la notion de croissance comparée.

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Définition des puissances - Notation puissance

Connaissant les fonctions logarithme et exponentielle, on peut définir une nouvelle notation pour les puissances.

Définition

fonction exponentielle de base a

Soit a > 0 et α ∈ ensemble des réels.
On a alors :

aα = eα ln a

Pour tout réel strictement positif a, l'application notation puissance est appelée fonction exponentielle de base a.

Rappellez-vous, les fonctions logarithme et exponentielle sont réciproques. Donc quand on compose par ln le nombre , ce qui donne ln (), la puissance vient devant le logarithme, par propriété de cette fonction, donc &alpha\; ln(a). Et lorsque l'on compose ensuite par l'exponentielle, on revient à la case départ : aα = eα ln a.

Propriétés des puissances

Un petit rappel des propriétés concernant les puissances.

Propriétés

Règles de calcul des puissances

Voici les propriétés sur les puissances, a et b non nuls et m et n entiers :

propriétés des puissances

Rien à ajouter. Vous connaissez.

II - Etude de la fonction fonction puissance avec a > 0

Soit f(x) = aα = eα ln a.

f est définie et dérivable sur ensemble des réels comme composition de fonction dérivables.

Calculons sa dérivée :

f '(x) = (ln a)ex ln a = ax ln a

A présent, nous allons distinguer deux cas : a < 1 et a > 1.

Cas a < 1 :

La dérivée aα = eα ln a < 0.

Calcul des limites :

limite de la fonction puissance négative


Son tableau de variations :

tableau de variations de la fonction puissance négative


Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie : .

graphe de la fonction puissance négative

Cas a > 1 :

La dérivée aα = eα ln a > 0.

Calcul des limites :

limite de la fonction puissance positive


Son tableau de variations :

tableau de variations de la fonction puissance positive


Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie : .

graphe de la fonction puissance positive

Croissance comparée

théorème de la croissance comparée



Nous pouvons maintenant présenter la fonciton exponentielle.
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