Limites de suites et de fonctions Télécharger en PDF Télécharger la fiche

Comportement asymptotique d'une fonction
Cours terminale S

C'est dans ce cours sur le comportement asymptotique des fonctions, que je vais vous définir les notions d'asymptotes. Il en existe trois : asymptote verticale, horizontale et oblique.

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Qu'es-ce qu'une asymptote ?
Quand es-ce que l'on rencontre une asymptote ?

Je vais vous expliquer tout cela. Sachez en premier lieu, qu'il y en trois différentes :

  • Asymptote horizontale,

  • Asymptote verticale,

  • Asymptote oblique.

Une asymptote est une droite sur le graphique dont la courbe représentative de la fonction se rapproche de plus en plus en fonction d'un certain x, sans jamais la toucher.

1 - Asymptote horizontale

Commençons par l'horizontale.

Définition

Asymptote horizontale

Soit f une fonction telle que limite et asymptote.
La droite d'équation y = l est asymptote horizontale à la courbe en ±∞.

Remarque

Le symbole ± signifie "plus ou moins". Ce que je veux dire en l'utilisant c'est que cela revient au même en +∞ et en -∞.

Exemple

La fonction inverse admet une asymptote horizontale d'équation y = 0 en ±∞ car :

limite asymptote horizontale


asymptote horizontale

2 - Asymptote verticale

Puis la verticale.

Définition

Asymptote verticale

Soit f une fonction telle que .
La droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe .

Remarque

On a une asymptote verticale lorsque la fonction admet une (ou plusieurs) valeurs interdite.

Exemple

La fonction f définie par a pour valeur interdite 2. Donc cette fonction admet une asymptote verticale d'équation x = 2,

limite asymptote verticale


asymptote verticale

3 - Asymptote oblique

Enfin, un tout petit peu plus difficile (vraiment tout petit), l'asymptote oblique.

Définition

Asymptote oblique

La droite D d'équation y = ax + b est asymptote oblique en ±∞ à la courbe d'équation y = f(x) lorsque :

définition asymptote oblique

Exemple

La fonction f définie par admet une asymptote oblique d'équation y = x - 3.
En effet :

exemple asymptote oblique


Or,

limite asymptote oblique


On a donc le résultat voulu.

asymptote oblique

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