Limites de suites et de fonctions Télécharger en PDF Télécharger la fiche

Limites de fonctions
Cours terminale S

Un cours de maths sur les limites de fonctions dans lequel je vous donne les définition des limites en l'infini ou en un point, les opérations sur les limites, la limite d'une fonction composée et même la proprité d'une fonction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini.

Pour voir ce contenu,
inscris-toi gratuitement.

ou
Déjà inscrit ?

Après avoir étudié les limites de suites numériques, nous passons désormais aux limites de fonction. C'est pareil sauf que cette fois ci, la variable d'une fonction peut tendre aussi bien vers +∞ que vers -∞, autrement dit, le x peut prendre des valeurs négatives tandis que le n des suites était un entier naturel.

Limite finie en l'infini

Commençons par la limite finie en +∞ et -∞.

Définition

Limite finie en l'infini

Soit f une fonction et l un réel.
  • La fonction f a pour limite l en +∞ si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand.
    On note :

    définition limite de fonctions

  • La fonction f a pour limite l en -∞ si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment petit.
    On note :
    limites de fonctions en l'infini

C'est presque la même définition que pour les suites.
Je vais vous expliquer ça avec des mots moins savants.

Lorsque l'on fait tendre x vers l'infini (soit vers un nombre très grand), la fonction elle va tendre vers un réel. Plus le x sera grand, plus le f(x) se rapprochera de ce réel noté l qui est la limite de la fonction.

C'est pareil pour la limite finie en -∞. Lorsque l'on fait tendre x vers -∞ (soit vers un nombre très petit), la fonction elle va tendre vers un réel. Plus le x sera petit, plus le f(x) se rapprochera de ce réel noté l qui est la limite de la fonction.
Vous avez compris ? Un petit exemple pour illustrer tout cela.

Exemple

La fonction inverse définie par tend vers le réel 0 lorsque x tend vers l'infini. Cela veut dire que plus le x est grand, plus le f(x) sera petit et se rapprochera de la valeur 0.
On note cela ainsi :

exemple de limite de fonction

Limite infinie en a

Parfois, la limite en un point est infinie.

Définitions

Limite infinie en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant l'intervalle ]a ; a + ε[ ou ]a - ε ; a[, avec a un réel et ε > 0.
  • La fonction f a pour limite +∞ en a si f(x) est très grand dès que x est suffisamment proche de a.
    On note :

    définition limite infinie

  • La fonction f a pour limite -∞ en a si f(x) est très petit dès que x est suffisamment proche de a.
    On note :
    limite infinie en un point
  • C'est juste l'inverse de la première définition. Cette fois ci, ce n'est plus le x qui grandit mais le f(x).

    Lorsque l'on fait tendre x vers a, la fonction elle va tendre vers +∞. Plus le x se rapprochera de la valeur de a, plus le f(x) sera grand et tendra donc vers +∞.

    Et pour l'autre : lorsque l'on fait tendre x vers a, la fonction elle va tendre vers -∞. Plus le x se rapprochera de la valeur de a, plus le f(x) sera petit et tendra donc vers -∞.

    Exemple

    La fonction définie par tend vers le réel l'infini lorsque x tend vers la valeur interdite de la fonction, c'est-à-dire 2. Cela veut dire que plus le x se rapproche de la valeur interdite 2, plus le f(x) sera grand.
    On note cela ainsi :

    exemple de limite infinie en un point

    Limites de fonctions de référence

    Les limites que je vais vous présenter dans cette section sont usuelles. Vous devez les connaître.

    Définitions

    Limites de fonctions de référence


    limites de fonctions de référence

    Opérations sur les limites

    Il nous ait déjà arrivé de faire des opérations sur les dérivées par exemple. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. C'est ce que nous allons faire ici mais avec des limites.
    Dans cette section, a désigne soit un nombre réel, soit +∞, soit -∞ et L et L' sont des réels.
    Les exemples sont en faire de section.

    Propriétés

    Somme des limites
    somme des limites

    Remarque

    Comme vous pouvez le constater, on ne sait pas faire ∞ - ∞. C'est une limite indéterminée. Ne vous avisez surtout pas à donner une valeur à cette limite n'en a pas !

    Propriétés

    Produit des limites
    produit des limites

    Propriétés

    Quotient d'une limite
    quotient d'une limite

    Propriétés

    Quotient des limites Pour déterminer la limite de , il suffit de déterminer la limite de puis de déterminer la limite du produit de f par .
    quotient des limites

    Fonction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini

    Voyons maintenant une propriété intéressante et très pratique lorsque l'on manipule des polynômes.

    Propriétés

    Fonction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini

    Soit P un polynôme.
    • La limite de ce polynôme P en +∞ ou -∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

    • La limite d'une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur sont des fonction polynômes en +∞ ou -∞ est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré.

    Remarque importante

    Attention, je précise bien, ces propriétés ne sont valables que qui on étudie la limite en +∞ ou -∞.

    Exemple 1

    Soit le polynôme P(x) = -x5 + 3x4 + x³ - 5x + 2.
    Sa limite en +∞ est celle de son terme de plus haut degré, c'est-à-dire c'est la limite de -x5 et :

    exemple de limite


    Donc, la limite de P en +∞ est -∞.

    Exemple 2

    On demande de calculer la limite en +∞ de exemple de fonction.
    Facile. On prend les termes de plus haut degré du haut et du bas : étude de fonctions.
    Donc :

    étude de limite

    Exemple 3

    Calculer la limite en +∞ de (3x³ - x² + 2x - 4)(-2x² - 2).
    Or,

    étude de limite de fonction


    Calculons donc séparément les deux limites puis nous effectuerons leur produit.

    limite de fonction


    Le produit de +∞ et de -∞ est -∞.
    Conclusion :

    calcul de limite

    Limite d'une fonction composée

    Je vous redéfini la nouvelle notion de composition de fonctions.

    Définition

    Fonction composée

    Soient f une fonction définie sur I et g(x) une fonction définie sur f(I).
    La fonction (on dit "g rond f")est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

    définition limite d'une fonction composée

    En fait, on remplace la variable de la fonction g par la fonction f.

    Exemple

    Soient deux fonctions f(x) = x + 1 et g(x) = 3x - 2x + 1.
    Si on veut :

    limite d'une fonction composée


    Vous avez saisie l'idée ?
    Je vous laisse terminer le calcul.

    Théorème

    Limites des fonctions composées

    Soient f une fonction définie sur I, g une fonction définie sur f(I), a un élément de I (borne comprise), L et L' deux réels ou ±∞.
    Si :

    théorème limite d'une fonction composée


    Alors :

    théorème sur les limites

    On a une première fonction f qui tend vers L lorsque sa variable x tend vers a.
    Puis une seconde fonction g qui tend vers L' lorsque sa variable X tend vers L, la limite de la première fonction f.
    Alors, la composée de ces deux fonction tend vers L', limite de la seconde fonction g.

    C'est quelque chose d'important. C'est pourquoi je vous donne quatre exemples différents, de difficulté progressive.

    Exemple 1

    Déterminer la limite en +∞ de la fonction .

    C'est la fonction g(x) = x³ - 2x² + 5x + 3 composée avec la fonction racine .
    Calculons la limite de g.

    exemple de limite de fonction composée


    Calculons aussi la limite de h quand x tend vers la limite de g soit +∞.

    exemple de limite


    C'est facile en fait. On fait tendre l'intérieur de la racine vers l'infini. Le résultat est l'infini. Puis on regarde la limite de la racine de l'infini. Ce qui nous donne ...

    cours sur les limites

    Exemple 2

    Un peu plus difficile. Calculer la limite suivante :



    On bien que 2 est la valeur interdite de cette fraction car : -2² + 5 × 6 = 0.
    On a aussi la valeur 3 comme valeur interdite mais ne nous en préoccupons pas ici, on cherche la limite en 2, pas en 3.
    Nous allons devoir étudier cette limite au voisinage de 2, c'est-à-dire autour de 2. On l'étudiera en (très proche de 2 mais toujours inférieur) et en (très proche de 2 mais toujours supérieur).
    Nous allons donc avoir besoin du signe de la quantité -x² + 5x - 6 pour un x tendant vers et pour un x tendant vers . Dressons-le.

    exemple limite fonction composée


    On voit bien donc que le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif avant 2 et positif après. Autrement dit, en , le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif et en il est positif. On a ce qu'on voulait !
    Calculons maintenant les limites :



    On va faire le quotient de ce polynôme.
    Or, en , le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif, donc son quotient va tendre vers -∞ et en il est positif, son quotient va tendre vers +∞.



    N'oublions pas la limite du numérateur.

    exemple fonction composée


    En fait, vu que 2 n'est pas une valeur interdite pour le numérateur, on a :

    fonction composée


    Cette limite est négative. Quand on fait le quotient des deux limites, on trouvera donc :



    Fiou ! On a terminé. Vous voyez bien que la limites diffère en fonction de la position de x : en elle vaut +∞ et en elle vaut -∞.

    Théorèmes de comparaison

    Comme pour les suites, il existe des théorèmes de comparaison qui vont nous aider à déterminer la limite d'une fonction.
    Cette partie est très encore une fois importante.
    Dans les théorèmes que je vais vous énoncer, il y a beaucoup de conditions pré-requises. Si une d'entre elles manquent, le théorème ne peut être appliqué.

    a - Théorème des gendarmes

    Vous connaissez maintenant le principe.

    Théorème

    Théorème des gendarmes

    Soient f, g et h trois fonctions telles que :

    définition théorème des gendarmes

    Alors, on a :

    théorème des gendarmes

    Exemple

    exemple théorème des gendarmes


    En effet, on sait que pour tout x ≠ 0, -1 ≤ sin x ≤ 1.

    On divise tout par .

    exemple sinus et théorème des gendarmes

    Or,

    utilisation du théorème des gendarmes

    Donc, d'après le théorème des gendarmes : théorème de comparaison exemple

    b - Comparaison au voisinage de l'infini

    Deux théorèmes très pratiques basés sur la majoration et la minoration.

    Théorème

    Théorème de minoration

    Soient b un réel, f et g deux fonctions.
    Si, pour tout x ∈ ]b, +&infin[,

    définition théorème de minoration

    Alors :

    théorème de minoration

    Théorème

    Théorème de majoration

    Soient b un réel, f et g deux fonctions.
    Si, pour tout x ∈ ]b, +∞[,

    définition théorème de majoration

    Alors :

    théorème de majoration

    Si f est majorée par une fonction g, c'est-à-dire que f(x)g(x) et si la limite de la fonction g est -∞, alors la limite de f est plus petite que la limite de g, et plus petit que -∞ c'est forcément toujours -∞.
    Pareil pour la minoration.

    Exemple

    On sait que pour tout x strictement positif : .
    Or,

    exemple théorème de majoration


    On en déduit, d'après le théorème de minoration, que :

    exemple théorème de minoration

    Limites de fonctions : 4/5 (2 avis)
    Donnez votre avis sur ce cours.

    Identifie-toi pour voir plus de contenu.

    Profite de l'intégralité du site en illimité : cours en ligne, exercices corrigés, quizz interactifs avec suivi scolaire, vidéos explicatives, annales de Bac et Brevet et bien plus. En savoir plus

    Inscription gratuite
    Connexion