Exercices

Résolutions d'équations du premier et second degré

Correction exercice 3ème
Voici 4 équations :

(1) : 1 - (x - 3)² = 0
(2) : (2x - 3)² - (4x - 5)(x + 1) = 0
(3) : 16x² - 40x + 25 = 0
(4) : 3(x - 1)(3x + 5) = 0

    • En développant les membres de gauche, déterminer l'équation qui est du premier degré.
    • Résoudre alors cette équation.

    Développons donc, pour chacune des équations, le membre de gauche (celui avant le signe =).

    • (1) : 1 - (x - 3)²
      Il suffit d'utiliser les identités remarquables.

      1 - (x - 3)² = 1 - (x² - 6x + 9)


      On a laissé les parenthèses car il y a un signe "-" devant. Je vous rappelle que lorsqu'il y a un signe "-" devant des parenthèses, pour les enlever, on doit changer tous les signes à l'intérieur de la parenthèse. Donc, les "+" deviennent des "-" et inversement. On y va !

      = 1 - x² + 6x - 9

      On a plus qu'à ordonner.

      = -x² + 6x - 8


      C'est une équation du second degré car le degré le plus haut de x est 2.

    • (2) : (2x - 3)² - (4x - 5)(x + 1)
      On utilise encore les identité remarquable pour (2x - 3)² et on développe tout simplement (4x - 5)(x + 1).

      (2x - 3)² - (4x - 5)(x + 1) = (4x² - 12x + 9) - (4x² + 4x - 5x - 5)


      Il y a un signe "-" devant la seconde parenthèse, on change donc tous les signes à l'intérieur. Concernant la première parenthèse, on peut les enlever.

      = 4x² - 12x + 9 - 4x² - 4x + 5x + 5


      Je vous ai coloré les x² en rouge et les x en bleu pour plus de facilité à tout calculer. Remarquez que l'ai coloré le signe qui va avec. On calcule donc et on ordonne.

      = -11x + 14


      C'est une équation du premier degré car le degré le plus haut de x est 1.

      Résolvons-la :

      -11x + 14 = 0


      On fait passer le 14 de gauche en -14 à droite.

      -11x = - 14


      On fait passer le -11 en multiplié de gauche en divisé par -11 à droite.

      x = -14/-11 = 14/11


      Donc :

      S = {14/11}



    • (3) : 16x² - 40x + 25
      Pour cette équation, on ne peut rien faire. Elle est déjà développée au maximum.
      C'est aussi une équation du second degré car le degré le plus haut de x est 2.

    • (4) : 3(x - 1)(3x + 5)
      Encore un développement. On distribue les termes pour réduire l'expression. On commence par l'encadré vert.

      3(x - 1) (3x + 5) = (3x - 3) (3x + 5)


      Puis le reste :

      (3x - 3)(3x + 5) = 9x² + 15x - 9x - 15


      Je vous ai coloré les x² en rouge et les x en bleu pour plus de facilité à tout calculer. Remarquez que l'ai coloré le signe qui va avec. On calcule donc puis on ordonne.

      = 9x² + 6x - 15


      C'est encore une équation du second degré car le degré le plus haut de x est 2.


    • Pourquoi résoudre l'équation (4) revient à résoudre l'équation (x - 1)(3x + 5) = 0 ?
    • Résoudre alors cette équation.

    Résoudre l'équation (4) revient à résoudre l'équation (x - 1)(3x + 5) = 0 car on peut diviser les deux termes de l'équation (à gauche et à droite) par 3 et ainsi faire disparaître le 3 en facteur à gauche. La division de 0 par 3 à droite donne toujours 0.

    Résolvons donc l'équation demandée :

    (x - 1)(3x + 5) = 0


    C'est un produit de facteur nul. Rappelez-vous comment on doit faire. d'abord la propriété.
    Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
    Donc :

    x - 1 = 0 OU 3x + 5 = 0

    x = 1 OU 3x = - 5

    x = 1 OU x = -5/3


    Donc :

    S = {1; -5/3}


  • Pour les deux équations restantes, factoriser le membre de gauche puis résoudre ces équations.

    Il nous reste donc les équations (1) et (3) à résoudre.
    Commençons par la première.
    Première question à se poser : a-t-on un facteur commun ? Non, aucun terme ne reviens. On va donc utiliser l'une des identités remarquables que je vous rappelle :

    a² - 2ab + b² = (a - b

    a² + 2ab + b² = (a + b

    a² + b² = (a - b)(a + b)


    Laquelle allons-nous utiliser ? Dans notre équation, nous avons 2 termes : 1 et (x - 3). On va donc utiliser la 3ème identité remarquable car elle aussi n'a que 2 termes.
    On y va. On a :

    a = 1 et b = x - 3


    Maintenant, ce n'est que du recopiage :

    [1 - (x - 3)][1 + (x - 3)] = (1 - x + 3)(1 + x - 3) = (-x + 4)(x - 2)


    On a factorisé l'expression, on peut à présent la résoudre avec le produit de facteur nul.
    Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
    Donc :

    -x + 4 = 0 OU x - 2 = 0

    -x = -4 OU x = 2

    x = 4 OU x = 2


    Donc :

    S = {4; 2}


    Pour l'équation (3), que je vous rappelle :

    16x² - 40x + 25 = 0


    On se pose les mêmes questions : a-t-on un facteur commun ? Non plus. On a 3 termes :

    16x² - 40x + 25 = 0



    Donc on utilise l'une des deux premiers identités remarquables :

    a² - 2ab + b² = (a - b

    a² + 2ab + b² = (a + b



    Laquelle d'après vous ? Oui, la première, car on a un "-". Alors, on y va !
    On trouve a et b en prenant respectivement la racine carrée du premier terme, 16x², et celle du dernier terme, 25.
    Donc :

    a = √16x² et b = √25


    Soit :

    a = 4x et b = 5


    On a plus qu'à remplacer.

    (4x + 5)² = 0


    On a factorisé l'expression, on peut à présent la résoudre avec le produit de facteur nul.
    Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
    Donc :

    -4x + 5 = 0 (pas besoin de l'écrire deux fois !)

    -4x = -5

    x = -5/-4

    x = 5/4


    Donc :

    S = {5/4}