Exercices

Sphere et section plane

Correction exercice 3ème
Soit la sphère de centre O et de diamètre [AB] suivante :

sphere


Le cercle C, de centre K et d'aire 25πcm², est formé par la section de la sphère avec un plan perpendiculaire à (AB).
On a : OK = 6cm.
  • Déterminer la longueur du rayon de C.

    C'est une question inverse. En effet, nous avons l'aire et nous cherchons le rayon.
    Il va donc falloir résoudre une simple équation.

    Soit R le rayon du cercle C.

    On sait que l'aire d'un cercle de rayon R est égale à : πR²

    On a donc :

    πR² = 25π


    En simplifiant des deux côtés par π, cela donne : R² = 25.

    Or, une longueur est toujours positive.

    On a donc : R = 5cm.


  • En déduire la longueur du rayon de la sphère.

    Prenon M un point du cercle C.

    On sait que [KM] est un rayon du cercle (forcément car 0 est le centre et M un point du cercle).

    De plus, comme M appartient également à la sphère, [OM] est un rayon de la sphère.

    section plane d'une sphere


    On cherche donc la longueur OM, connaissant OK et KM.

    Le plan sécant étant perpendiculaire à (AB), on en déduit que le triangle OKM est rectangle en K.

    Appliquons donc le théorème de Pythagore :

    OM² = KO² + KM²


    Application numérique :

    OM² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61


    Or, une longueur est toujours positive.

    Donc : OM = √61 = 7,8cm