Exercices

Calculs de longueurs - Aire et périmétre

Correction exercice 3ème
On considère un pentagone ABCDE régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayons 5cm. Soit I le milieu de [AB].
  • Faire une figure.

    exercice rotation et angles


  • Que pouvez-vous dire du triangle AOI ? Justifier.

    Le triangle ABO est isocèle car le polygone ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O. Donc OA = OA.
    De plus, I est le milieu du segment [AB].
    Or, dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principale est aussi médiatrice.
    Donc, la droite (OI) est médiatrice du segment [AB] et coupe donc celui-ci perpendiculairement en son milieu I.
    Par conséquent, le triangle AOI est rectangle en I.


  • Calculer la longueur AI. En déduire la longueur AB.

    Comme ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O, l'angle AOB = 360/5 = 72° (on divise par 5 car le pentagone a 5 côtés).
    Donc, l'angle AOI = 72/2 = 36°.

    Dans le triangle AOI, rectangle en I, on applique la formule de trigonométrie suivante :

    sin(AOI) = AI/AO


    On connait l'angle AOI = 36° et la longueur AO = 5cm, c'est le rayon du cercle donné dans l'énoncé.
    Application numérique :

    sin(32°) = AI/5 ⇔ AI = 5 × sin(31°) = 2,6cm


    Donc :

    AB = 2 × AI = 2 × 2,6 = 5,2


  • Calculer IO.

    On considère le triangle AOI, rectangle en I.
    D'après le théorème de Pythagore :

    AO2 = AI2 + IO2 ⇔ IO2 = AO2 - AI2


    Application numérique :

    IO2 = 52 - 2,62 = 18,24


    Soit :

    IO = √18,24 = 4,3cm


  • Déterminer le périmètre de ABCDE.

    Le périmètre du pentagone régulier ABCDE vaut :

    PABCDE = 5 × 5,2 = 26cm


  • Calculer l'aire de ABCDE.

    L'aire d'un pentagone régulier est tout simplement 5 fois l'aire d'une des cinq triangles dont est composé ce pentagone.
    L'aire du pentagone régulier ABCDE vaut donc :

    AABCDE = 5 × 5,2 × 4,3/2 = 55,9cm2