Exercices

Etude d'une suite numérique définie explicitement

Correction exercice première ES
Soit la suite numérique un définie par : un+1 = (n + 1)² - n²
  • Calculer les cinq premiers termes de cette suite.

    u0 = 1
    u1 = 3
    u2 = 5
    u3 = 7
    u4 = 9


  • Cette suite est-elle arithmétique ? Si oui, précisez la raison.

    On remarque que la différence de deux termes consécutifs de la suite est constante et égale à 2.
    Donc, c'est une suite arithmétique de raison r = 2.


  • Calculer u99.

    Comme c'est une suite arithmétique, on applique une des deux formules :

    u99 = u0 + 99 × 2 = 1 + 99 × 2 = 1 + 198 = 199


  • Calculer la somme suivante : S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 195 + 197 + 199.

    C'est la somme des 99 + 1 = 100 premiers termes de la suite car 1 = u0 et 199 = u99.
    Utilisons donc la formule du cours.

    somme des termes d'une suite


  • Donner les variations de cette suite.

    On a :

    un = (n + 1)2 - n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1




    un + 1 = [(n + 1) + 1]2 - (n + 1)2 = (n + 2)2 - (n + 1)2 = n2 + 4n + 4 - n2 - 2n - 1 = 2n + 3


    Or, on sait très bien que :

    un = 2n + 1 < 2n + 3 = un + 1


    Donc, la suite est croissante.
    D'ailleurs, cela se voyait très bien lorsque l'on a calculé les premiers termes de la suite.