Exercices

Calcul des racines d'un polynôme de degré 3

Correction exercice première S
Soit la fonction polynôme P suivante : P(x) = x³ - 5x² + 3x + 1.
Ce polynôme admet trois racines que l'on note a, b et c.
  • Ecrire en fonction de a, b et c, le polynôme P sous sa forme la plus factorisée.

    Si on connait son cours, on sait répondre à cette question.
    P(x) = (x - a)(x - b)(x - c).


  • Montrer que :
    • a + b + c = 5,

    • ab + bc + ac = 3,

    • abc = -1.

    Développons l'expression trouvée à la question précédent. On a que cela à faire.


    P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)
    P(x) = (x2 - bx - ax + ab)(x - c) = x3 - cx2 - bx2 + bcx - ax2 + acx + abx + abc


    On range bien tout cela en factorisant.


    P(x) = x3 - cx2 - bx2 + bcx - ax2 + acx + abx + abc
    P(x) = x3 - x2(a + b + c) + x(bc + ac + ab) + abc


    On identifie avec le polynôme P de l'énoncé.


    P(x) = x3 - 5x2 + 3x + 1
    P(x) = x3 - x2(a + b + c) + x(bc + ac + ab) + abc


    Donc : a + b + c = 5, bc + ac + ab = 3 et abc = - 1.


  • Sachant que b = 2 - √5 et b = 1, calculer c.

    Utilisons une des trois égalités. La première, c'est la plus simple.


    a + b + c = 5 ⇔ 2 - √5 + 1 + c = 5
    ⇔ c = 5 - 1 - 2 + √5
    ⇔ 2 + √5