Exercices

Résolution d'une équation trigonométrique

Correction exercice première S

Indice : 2X³ - 17X² + 7X + 8 = (X - 1)(2X² - 15X - 8).

Posons : sin x = X.
L'équation devient donc :

2X³ - 17X² + 7X = -8 ⇔ 2X³ - 17X² + 7X + 8 = 0


Il suffit de résoudre cette équation.
On remarque que x = 1 est une solution particulière de cette équation.
Donc :

2X³ - 17X² + 7X + 8 = 0 ⇔ (X - 1)(2X² - 15X - 8) = 0


Faisons la méthode du Δ pour trouver les racines du polynôme 2X² - 15X - 8.

Δ = 225 + 64 = 289


D'où les racines :

racines polynome


Donc :

2X³ - 17X² + 7X + 8 = 0 ⇔ (X-1)(X - 8)(X + 1/2) = 0


On a donc trois solutions : X = 1 ou X = 8 ou X = -1/2.
On revient au sinus, qui est compris entre -1 et 1, on garde donc les deux solutions suivantes : sin x = 1 ou sin x = -1/2.
Grâce au cercle trigonométrique et aux formules que l'on connait par coeur, on sait que :

valeur d'un sinus


Et que :

sinus


Donc :

valeur sinus


Et :

exercice sinus


D'ou :

solution d'un sinus