Exercices

Fonction, aire et cercle

Correction exercice seconde
Soit M un point du segment [AB] avec AB = 8cm dans la figure suivante :

exercice sur les fonctions


L'objectif de cet exercice de maths est de trouver le rayon du cercle de diamètre [AM] pour que l'aire de la surface grise et celle de la surface blanche soient égales.
Pour cela, on note x le rayon du cercle de diamètre [AM].
Soit f(x) l'aire de la partie grise en fonction de x.
Soit g(x) l'aire de la partie blanche en fonction de x.
  • Déterminer les domaines de définitions des fonctions f et g.

    La question en réalité veut dire : dans quelle fourchette se situe l'aire de la fonction f et de la fonction g ?
    Au minimum, le rayon de la partie grise (de même pour la partie blanche) vaut 0 et au maximum il vaut la moitié de la longueur AB (car c'est un rayon), soit 4cm.
    Donc, comme les fonctions f et g dépendent toutes les deux de x et que x est compris entre 0 et 4, on a :

    Df = Dg = [0; 4]


  • Démontrer que le cercle de diamètre [MB] a pour rayon 4 - x.

    On applique le principe de l'inégalité de l'égalité triangulaire :

    AB = 8 = AM + MB = 2x + MB

    En prennant les rayons, cela devient (on divise tout par 2) :

    4 = x + rayon(MB)

    On résoud très facilement cette équation pour trouvé le résultat attendu :

    rayon(MB) = 4 - x


    • Déterminer l'expression algébrique de f(x).
    • Déterminer l'expression algébrique de g(x).

    • Déterminer l'expression algébrique de f(x).

      Je rappelle que f(x) est l'aire de la partie grise en fonction de x. C'est-à-dire l'aire du cercle de diamètre [AM], soit x, plus celle du cercle de diamètre [MB] que l'on a déterminé à la question précédente.
      En utilisant la formule de l'aire d'un disque, on obtient :

      Af(x) = πx2 + π(4 - x)2 = π(x2 + 16 - 8x + x2) = π(2x2 - 8x + 16)


    • Déterminer l'expression algébrique de g(x).

      Attaquons à présent g(x) qui, je le rappelle, est l'aire de la partie blanche en fonction de x.
      C'est tout simplement l'aire du cercle de diamètre [AB] (le grand cercle) moins l'aire des cercles gris à l'intérieur. Soit :

      Ag(x) = π × 42 - f(x) = 16π - f(x)



    • Démontrer que le problème revient en fait à résoudre l'équation suviante : x2 - 4x + 4 = 0.
    • A l'aide d'une factorisation, résoudre l'équation suivante : x2 - 4x + 4 = 0.

    • Démontrer que le problème revient en fait à résoudre l'équation suviante : x2 - 4x + 4 = 0.

      Je rappelle que le but de l'exercice est de trouver le rayon du cercle de diamètre [AM] pour que l'aire de la surface grise et celle de la surface blanche soient égales.
      Donc, en fait, il faut trouver la valeur de x tel que Af(x) soit égale à Ag(x). Ces deux aire ont été calculées juste avant.

      On doit donc résoudre l'équation suivante :

      Af(x) = Ag(x)


      Ce qui est équivalent à résoudre :

      π(2x2 - 8x + 16) = 16π - f(x)
      ⇔ 2x2 - 8x + 16 = 16 - 2x2 + 8x - 16
      ⇔ 2x2 - 8x + 16 - 16 + 2x2 - 8x + 16 = 0
      ⇔ 4x2 - 16x + 16 = 0
      x2 - 4x + 4 = 0


      Donc, le problème revient en fait à résoudre l'équation : x2 - 4x + 4 = 0.

    • A l'aide d'une factorisation, résoudre l'équation suivante : x2 - 4x + 4 = 0.

      Vous l'avez reconnu, c'est une identité remarquable :

      x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0


      On résud cette équation :

      (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2




  • Conclure.

    Donc : pour que l'aire de la surface grise et celle de la surface blanche soient égales, il faut que le rayon x du cercle de dimaètre [AM] vale 2cm.