Exercices

Triangle rectangle, théorème des milieux et cercle circonscrit

Correction exercice seconde
Soit la figure suivante.

exercice géométrie plane en seconde


ABC est un triangle quelconque
On a appelé M, N et P les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement des sommets A, B et C. Ces trois hauteurs se coupent en H, l'orthocentre de ce triangle.
On a appelé I, J et K les milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [AH].
  • Démontrer que le point M appartient au cercle C de diamètre [JK].

    On sait que le point M est le pied de la hauteur issue de A du triangle ABC.
    Donc, les droites (AM) et (BC) sont perpendiculaires.

    De plus, J ∈ (BC).
    Donc, les droites (AM) et (JM) sont perpendiculaires.

    De là, on en déduit que le triangle JKM est rectangle en M, d'hypoténuse [JK].

    Or, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre de son cercle circonscrit.

    Le cercle C de diamètre [JK] est donc circonscrit au triangle rectangle JKM.

    Les trois sommets de ce triangle appartiennent donc au cercle C, en particulier le point M.


  • Démontrer que le point I appartient au cercle C.

    Ici, nous allons démontrer que le triangle JKI est rectangle en I, comme dans la question précédente.

    Montrons que les droites (IJ) et (BN) sont perpendiculaires :

    Dans le triangle ABC, la droite (IJ) joint les milieux des côtés [AB] et [BC].

    Or, d'après le théorème des milieux, dans un triangle, si une droite joint les milieux de deux côté alors elle est parallèle au troisième côté.

    Donc (IJ) est parallèle à (AC).

    De plus, (BN) étant la hauteur du triangle ABC issue du sommet B, cette droite est perpendiculaire à (AC).

    Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

    La droite (BN) est donc également perpendiculaire à (IJ).

    Montrons que les droites (IK) et (BN) sont parallèles :

    On sait que H est l'orthocentre du triangle ABC, c'est le point d'intersection des hauteurs de ce triangle.

    Dans le triangle AHB, la droite (IK) joint les milieux des côtés [AB] et [AH].

    Or, d'après le théorème des milieux, dans un triangle, si une droite joint les milieux de deux côté alors elle est parallèle au troisième côté.

    Donc (IK) est parallèle à (BH). Mais comme H ∈ [BN], on a : (IK) // (BN).


    On en conclut donc que les droites (IJ) et (IK) sont perpendiculaires. Le triangle JKI est donc rectangle en I.

    I appartient donc au cercle C de diamètre [JK] car c'est aussi le cercle circonscrit au triangle JKI, d'hypoténuse [JK].


  • Soit L le milieu du segment [AC]. Ce point appartient-il au cercle C ?

    On fait exactement pareil que la question précédente, c'est-à-dire que l'on doit démontrer que le triangle JKL est rectangle en L.

    On en déduira que le point L appartient aussi au cercle C.