Exercices

Calcul de limite de fonction avec un logarithme

Correction exercice terminale ES

Déterminons tout d'abord l'ensemble de définition de cette fonction f.
Cette fonction est définie lorsque fonction > 0 car un logarithme ne "mange" que du positif".

Le discriminant du polynôme du dénominateur est négatif, ce qui signifie qu'il est toujours positif : x² -x + 1 > 0. Les racines du polynôme du numérateur x² + 3x + 2 sont -1 et -2.
En traçant le tableau de signes de ce polynôme, on trouve que :

x² + 3x + 2 > 0 ⇔ x ∈ ]-∞; -2;[U]-1; +∞[


Et comme le dénominateur est toujours positif,

fonction > 0 ⇔ x ∈ ]-∞; -2;[U]-1; +∞[


D'où : Df = ]-∞;-2[U]-1; +∞[.

On peut à présent revenir au calcul des limites.
Prenons u(x) = fonction tel que f(x) = ln[u(x)].
Réécrivons la fonction u de cette façon :

fonction et logarithme


On a :

limite d'une logarithme


De plus,

logarithme et limites


Donc :

limites


Et :

logarithme


Donc :

limite et logarithme


Limite en ±∞ :

limte d'une fonction avec un logarithme


Limite en -2 :

limite d'un logarithme


Limite en -1 :

limite d'une fonction logarithme