Exercices

Résolution d'inéquation avec des logarithmes

Correction exercice terminale ES
Résoudre les inéquations suivantes :
  • ln(-x² + 4x + 6) < 0

    D'abord, l'ensemble de définition, qui est : ]2 - √10; 2 + √10[.

    ln(-x² + 4x + 6) < 0

    ⇔ -x² + 4x + 6 < 1

    ⇔ -x² + 4x + 5 < 0


    Le polynôme -x² + 4x + 5 admet deux racines : -1 et 5.

    Donc : -x² + 4x + 5 = (x + 1)(x - 5).

    En traçant le tableau de signes (vous savez faire), on trouve aisément que le polynôme est positif si, et seulement si, x ∈ ]-∞; -1[U]5; +∞[.

    Conclusion : Sans oublier le domaine de définition, S = ]2 - √10; -1[U]5; 2 + √10[.


  • résolution d'inéquation avec des logarithmes

    Commençons par l'ensemble de définition : ]0; 1[U]1; +∞[.

    On va poser X = ln(x).
    L'inéquation devient donc :

    inéquation avec des logarithmes


    Le discriminant du polynôme du numérateur vaut Δ = 25.
    Ses racines sont donc 2 et -1/2.
    En traçant le tableau de signes (vous savez faire), on trouve aisément que le polynôme entier est positif si, et seulement si, x ∈ ]-1/2; 0[U]2;+∞[.
    On revient aux logarithmes.


    inéquation et logarithmes


    Conclusion : solution de l'inéquation avec des logarithmes.