Exercices

Calculs de deux intégrales trigonométriques

Correction exercice terminale S
On pose :
Calculs d'intégrales trigonométriques

  • Calculer I + J.

    Juste un petit rappel sur la propriété fondamentale de la trigonométrie :

    cos² x + sin² x = 1

    Maintenant on peut y aller :

    I + J = x² cos²x dx + x² sin²x dx

    I + J = x²(cos² x + sin² x) dx

    I + J = x² dx = [ x³ ]π0 = π³
    3 3


  • Calculer I - J.

    Un autre petit rappel sur la propriété fondamentale de la trigonométrie :

    cos² x - sin² x = cos (2x)

    On y va :

    I - J = x² cos²x dx - x² sin²x dx

    I - J = x²(cos² x - sin² x) dx

    I - J = x² (cos (2x) dx

    Maintenant, il faut faire une intégration par partie, dont je vous rappelle la formule :

    intégration par partie

    C'est parti !

    x² (cos (2x) dx = [x² sin (2x) ]π0 - x sin (2x) dx = - x sin (2x) dx
    2

    = - ( [-x cos (2x) ]π0 - - cos (2x) dx )
    2 2

    = π - 1 [ sin (2x) ]π0 = π
    2 2 2 2


  • En déduire I et J.

    Maintenant que l'on a (I + J) et (I - J), on peut aisément calculer I et J.

    On a les équations suivantes :

    I + J = π³
    3

    I - J = π
    2

    En ajoutant la deuxième ligne à la première, on résout facilement ce système pour trouver :

    I = π³ + π
    6 4

    J = π³ - π
    6 4