Etudier la dérivabilité en 0 des fonctions suivantes.
-
f (x) = √x
Application de la formule du cours.
Donc, f n'est pas dérivable en 0. -
f (x) = √x + x
Application de la formule du cours.
Donc, f n'est pas dérivable en 0. -
f (x) = x√x
Application de la formule du cours.
Donc, f est dérivable en 0 et f '(0) = 0. -
f (x) = x√x + x
Application de la formule du cours.
Donc, f est dérivable en 0 et f '(0) = 1. -
j(x) = x sin|x|
Application de la formule du cours.
Donc, j est dérivable en 0 et j'(0) = 0. -
Vérifions dans un premier temps que la fonction est bien continue.
Pour tout x ≠ 0, on a f(x) = sin x × sin x/x.
Or, d'après le cours sur les fonctions trigonométriques,
Donc :
La fonction f est donc continue en 0.
Pour tout x ≠ 0, on a :
.
Or,
Donc :
D'où :
La fonction f est dérivable en 0 et f '(0) = 1.