Exercices

Résolution d'équation avec des exponentielles

Correction exercice terminale S
Résoudre les équations suivantes.
  • e-x - ex = 0

    e-x - ex = 0 ⇔ ex = e-xx = -xx = 0


  • e2x - (1 + e)ex + e = 0

    On pose X = ex.
    L'équation à résoudre devient donc :

    X2 - (1 + e)X + e = 0


    C'est une équation du second degré. Calculons le discriminant Δ.

    Δ = (1 + e)2 - 4e = 1 - 2e + e2 = (1 - e)2


    Et donc, en sachant que e > 1, la racine du discriminant vaut :

    Δ = e - 1


    L'équation du second degré admet donc deux solutions distinctes :

    solutions d'une équation avec des exponentielles

    Donc : e2x - (1 + e)ex + e = 0 ⇔ (ex = e ou ex = 1) ⇔ x = 1 ou x = 0


  • -2ex + 19 = 5ex

    équation avec des exponentielles


  • équation exponentielle

    On pose X = ex.
    L'équation de départ devient donc :

    équation et exponentielle


    L'ensemble de définition de cette équation est : ensemble des réels - {-2/5; 32}.
    Résolvons-la.

    résolution équation exponentielle


    Soit : X = 2 ou X = 5.
    Or, 2 et 5 sont dans l'ensemble de définition ensemble des réels - {-2/5; 32}, donc 2 et 5 sont bien solutions de équation et exponentielle.

    Revenons au petit x :


    ex = 2 ou ex = 5 soit : x = ln(2) ou x = ln(5)


  • résolution d'une équation exponentielle

    On pose X = e3x + 2 > 0.
    L'équation de départ devient donc :

    X + e/X = 1 + e


    Résolvons cette équation.

    X + e/X = 1 + eX2 - (1 + e)X + e = 0


    Equation du second degré avec Δ = (1 + e)2 - 4e = (1 - e)2 positif, donc deux solutions distinctes.


    solutions d'une équation avec des exponentielles


    Ces solutions sont strictement positives, donc, en revenant au petit x :


    e3x + 2 = e ou e3x + 2 = 1, soit : 3x + 2 = 1 ou 2x + 2 = 0.


    Donc, les solutions de l'équation résolution d'une équation exponentielle sont les suivantes : x = -1/3 ou x = -2/3.