Exercices

Etude d'une fonction logarithmique - Tangente et position relative

Correction exercice terminale S
Soit la fonction f définie par :

étude d'une fonction logarithmique

  • Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

    Il faut nécessairement que ce que "mange" le ln soit strictement positif.
    Soit : x/(2 - x) > 0 ⇔ 0 < x < 2
    Donc : Df = ]0; 2[.


  • Calculer la dérivée de la fonction f.

    La fonction f est dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée vaut :

    dérivée d'une fonction logarithme


  • Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.

    D'abord, es-ce que cette tangente existe ? Oui, car la fonction f est dérivable en 1.
    L'équation de la tangente (T) à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 a pour équation :

    y = f'(1) × (x - 1) + f(1)

    y = 2x - 2


  • Etudier la position relative de la courbe représentative de la fonction f et de la droite (T).

    Posons, pour tout x ∈ Df, la fonction g(x) = f(x) - y = f(x) - y.

    Le signe de cette fonction va nous aider à répondre à la question.

    Calculons sa dérivée.

    dérivée d'un logarithme


    Pour tout x ∈ Df et différent de 1, g' (x) > 0. La fonction g est strictement croissante sur Df.

    Comme (T) est la tangente à (C) au point d'abscisse 1, on a : g(1) = 0.

    Si 0 < x < 1, alors g(x) < 0 et si 1 < x < 2 alors g(x) > 0.

    Conclusion :
    • Sur ]0; 1[, la courbe (C) est en dessous de la droite (T).
    • Sur ]1; 2[, la courbe (C) est au dessus de la droite (T).