Exercices

Ensemble de points et complexes

Correction exercice terminale S
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
  • z² ∈ iR

    Posons z = x + iy, avec x et y deux réels.

    On a alors :

    z² = x² - y² + 2xyi


    Donc, l'ensemble des points M d'affixe z tels que z² ∈ iR est équivalent à :

    z² ∈ iR
    x² - y² = 0
    x = y ou y = -x


    Conclusion : l'ensemble des points M cherchés est la réunion des deux droites d'équations x = y et y = -x.


  • |z - 2 + i| = 2

    Posons encore une fois z = x + iy, avec x et y deux réels.

    |z - 2 + i| = 2
    ⇔ |x - 2 + i(y + 1)| = 2


    Elevons tout au carré.

    ⇔ |x - 2 + i(y + 1)|² = 4
    ⇔ (x - 2)² + (y + 1)² = 4


    On reconnaît une équation du cercle de centre Ω d'affixe 2 - i et de rayon 2.


  • |iz - 1| = |-z + 2 - i|

    Tiens, utilisons une autre méthode pour cette question.

    |iz - 1| = |-z + 2 - i|
    ⇔ |i(z + i)| = |-(z - 2 + i)|
    ⇔ |z + i| = |z - 2 + i|


    On considère les points A et B, d'affixe respective -i et 2 - i.

    |z + i| = |z - 2 + i| ⇔ MA = MB


    L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [AB].