Exercices

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Correction exercice terminale S
Ecrire sous la forme exponentielle les nombres suivants.

  • z1 = 1 + i3
    2 + √6 + i(√6 - 2)

    Commençons par l'expression conjuguée afin d'enlever le i du dénominateur.

    z1 = 1 + i3 = (1 + i3)(√2 + √6 - i(√6 - 2))
    2 + √6 + i(√6 - 2) (√2 + √6 + i(√6 - 2))(√2 + √6 - i(√6 - 2))


    Puis on développe :

    z1 = 2 + √6 + √3(√6 - √2) + i[(√3(√2 + √6) - (√6 - √2)]
    16


    Ce qui nous donne :

    z1 = 2 + i 2
    4 4


    En factorisant par 1/2, on trouve :

    z1 = 1 ( 2 + i 2 )
    2 2 2


    De là, on retrouve bien l'expression exponentielle suivante :

    z1 = 1 eiπ/4
    2


  • z2 = 2 - 2i
    3 + 3i3

    Ici, on va procéder différemment. Regardez bien comment je vais faire et tachez de bien tout comprendre. Vous devez savoir le faire.

    On a :

    2 - 2i = 2 √2e-iπ/4


    Et :

    3 + 3i3 = 6( 1 + i 3 ) = 6eiπ/3
    2 2


    Donc, la fraction des deux donne :

    z2 = 2 - 2i = 2 √2e-iπ/4 = 2 e-i7π/12
    3 + 3i3 6eiπ/3 3


    Donc finalement :

    z2 = 2 e-i7π/12
    3