Exercices

Equation cartésienne d'un plan

Correction exercice terminale S

Calculons d'abord les coordonnées des vecteurs vecteur AB et vecteur AC.

vecteur AB(0; -5; 0) et vecteur AC(1; -3; -3).

Cela se voit très bien que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Donc, les points A, B et C ne sont aps alignés.

Pour déterminer une équation cartésienne du plan P passant par ces points, on va prendre un vecteur vecteur n de l'espace. Cela va être un vecteur normal au plan (ABC).

Calculons ses coordonnées.

vecteur AB.vecteur n = 0 ⇔ -5b = 0
vecteur AC.vecteur n = 0 ⇔ a - 3b - 3c = 0


Ce qui nous permet de trouver :

b = 0
a = 3c


Donc, comme vecteur normal au plan (ABC), on peut prendre vecteur n(3; 0; 1).

Soit donc un point M(x; y; z) quelconque de l'espace.

Ce point M apparatient au plan (ABC) si et seulement si vecteur AM et vecteur n sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteur est nul.

M ∈ (ABC) ⇔ vecteur AM.vecteur n = 0

⇔ 3(x - 2) + (z - 1) = 0

⇔ 3x + z- 7 = 0


Donc, une équation cartésienne du plan (ABC) est :

3x + z- 7 = 0