-
f(x) = (1 - x)√x
f(x) = (1 - x)√x = √x - x√x = x1/2 - x3/2
La primitive de la fonction f est :
-
-
Ah... Dur. Comment faire ? Un petit changement de variable. Le dénominateur nous fait peur, changeons-le.
Posons u = x³ + 2.
On a donc : u' = 3x².
On obtient donc :
Et la dérivée de
est : 
.
La primitive de la fonction est donc :
-
Comment faire ici aussi ? Un petit changement de variable. Le dénominateur nous fait peur, changeons-le.
Posons u = x² + 2x + 3.
On a donc : u' = 2x + 2 = 2(x + 1).
On obtient donc :
Et la dérivée de
est : ln|u(x)|.
La primitive de la fonction est donc :
-
ex(ex + 1)³
Exemple simple. Il n'y a qu'à remarque que la dérivée de ex + 1 est ex, le facteur. La primitive de la fonction est donc :
-
32x = e2xln(3)
La primitive de la fonction est donc :
-
sin x cos³x
Quelle est la dérivée de sinus ?
La primitive de la fonction est donc :
-
cos³x
Attention : cette question peut choquer les personnes qui ne connaissent pas leurs formules de trigonométrie.
cos³x = cos x × cos²x = cos x (1 - sin²x) = cos x - cos x sin²x
La primitive de la fonction est donc :
-
sin²x cos5x
Attention : cette question aussi peut choquer les personnes qui ne connaissent pas leurs formules de trigonométrie.
sin²x cos5x = sin²x cos x cos4x = cos x(1 - sin²x)² sin² x = cos x(sin²x - 2sin4x + sin6x)
La primitive de la fonction est donc :
-
Ecrivons :
Changeons à présent de variable. Posons u(x) = 1 + √x et donc u'(x) =
.
La primitive de la fonction est donc :
F(x) = 2ln(1 + √x) -
Multiplions en haut et en bas par e-x/2 (non nul bien sûr).
Posons :
On a donc :
La primitive de la fonction est donc :
