Et si on sommait deux vecteurs ? C'est le but de ce cours sur la somme de vecteurs en introduisant une propriété fondamentale sur les vecteurs : la relation de Chasles.
On peut bien évidemment sommer deux vecteurs.
Propriété
Somme de vecteurs
La composée de deux translations de vecteurs
et 
est une translation de vecteur + .
Exemple
Dans la figure suivante,
On transforme le point A en point B par la translation de vecteur.
Puis, le point B en point C par la translation de vecteur.
Donc, le point C est l'image du point A par la translation de vecteur + .
On transforme le point A en point B par la translation de vecteur
.
Puis, le point B en point C par la translation de vecteur
.
Donc, le point C est l'image du point A par la translation de vecteur
+ .
Une relation appelée Relation de Chasles traduit cela.
Propriété
Relation de Chasles
Si M' est l'image de M par la translation de vecteur et M'' l'image de M' par la translation de vecteur , alors M'' est l'image de M par la translation de vecteur + et on a la relation, appelée relation de Chasles, suivantes :
= 
+ 
En fait, on a décomposé le vecteur par M'.
Vous remarquerez que le point d'arrivée du vecteur est le point de départ du vecteur . Et si l'on prend le point de départ du vecteur et le point d'arrivée du vecteur on obtient le vecteur .
Il y a deux méthodes de construction :
- En mettant les vecteurs bout à bout comme ceci :
On construit le point M tel que
= .
Puis on reproduit le vecteur au point M.
Le point d'arrivée est le point B, image du point A par la translation de vecteur + . - En utilisant les égalité du parallélogramme.
On reproduit les vecteurs et au point A, ce qui nous donne respectivement les points M et N.
On construit le point B tel que le quadrilatère ANBM soit un parallélogramme.