Dans ce cours sur les sytèmes, je vous explique comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues avec une méthode simple et efficace.
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système (ou "système d'équations"). Cependant, je vais vous donner seulement la meilleure, et la plus simple, de toutes. En effet, cette méthode marche tout le temps.
Propriété
Résolution de systèmes
Deux principes pour la résolution d'un systèmes à deux équations à deux inconnues :- On peut multiplier (ou diviser) tous les termes d'une équation par un même nombre,
- On peut additionner les deux équations terme-à-terme.
Expliquons bien : nous savions déjà que nous pouvons multiplier tous les termes d'une équation par un même nombre. Jusque là, pas de problème.
Ensuite, on additionne en fait les x de la première équation avec ceux de la seconde, pareil pour les y, etc., dans le but de supprimer une des deux inconnues.
On trouvera donc une seul équation avec une inconnue, que l'on résout.
Puis on prend une des deux équations de départ (la plus "jolie") et on remplace l'inconnue trouver pour transformer cette équation en une équation à une seule inconnue, que l'on sait résoudre. Et voilà.
Regardez bien l'exemple qui suit. Il résume tout ce que je viens de dire.
Exemple
On va avant tout numéroter les lignes du système comme ceci :
On range tout cela dans l'ordre, les x en premier, puis les y, pour pouvoir bien additionner après.
On choisit ensuite quelle inconnue nous voulons supprimer. C'est comme on veut. Allons pour la suppression de y !
Demandons-nous : par quoi multiplier ces équations pour que les y sautent ? Trouvé ! On multiplie la première par 3 et la seconde par 2.
(L1) × 3 et (L2) × 2.
A présent, on fait une addition terme-à-terme : 9 x + 10x = 19x, -6y + 6y = 0 (normal, c'est ce qu'on voulait) et enfin 21 + 20 = 41.
On obtient donc l'équation suivante :
Que l'on résout pour trouver que :
On a trouvé x, cherchons y.
On va tout simplement remplacer la valeur trouvée de x dans une des équation de notre choix. Remplaçons x par
dans (L1).
La solution de cette équation est :
On a donc trouvé la solution du système :
L'exercice est alors terminé.
Quelques exercices sur Methode de résolution d'un système de deux équations :