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Donner le signe d'un trinôme du second degré

Cours de maths première S

Dans ce cours méthode, je vous explique comment déterminer le signe d'un polynôme du second degré en utilisant son discriminant et les propriétés du cours sur les trinômes.

Soit le polynôme du second degré suivant :

P(x) = x² - 3x + 2

Déterminer le signe du polynôme P.

Identifier a, b et c

Commençons tout d'abord par identifier a, b et c dans le polynôme P tels que P(x) = ax² + bx + c

Cela se trouve facilement :

  • a = 1
  • b = -3
  • c = 2

Calculer le discriminant du polynôme

Vous vous rappeler de la formule du discriminant Δ ? C'est la suivante :

Δ = b² - 4ac

A présent, calculons-le dans l'exemple proposé.

Δ = (-3)² - 4 × 1 × 2

Δ = 9 - 8

Δ = 1

Rappelons la propriété du discriminant d'un polynôme du second degré

Soit le polynôme P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) et Δ son discriminant.
  • Si Δ < 0, alors le trinôme est du signe de a (il ne s'annule jamais).

  • Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a et s'annule en : équation du second degré.

  • Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervale délimité par les racines : solution d'une équation du second degré, et du signe de -a à l'intérieur.
  • Dans notre cas, Δ = 1 > 0

    Calcul des racines de Δ

    Les deux racines sont : solution d'une équation du second degré

    Après calcul, on trouve :

    x1 = 1

    x2 = 2

    Conclure sur le signe du polynôme

    Du coup :

    • P(x) > 0 si x ∈ ]-∞; 1[U]2; +∞[,
    • P(x) < 0 si x ∈ ]1; 2[.