On termine ce cour sur les suites avec leurs propriétés. Dans ce cours, nous étudierons les variations des suites et les extremum (minimum et maximum).
1 - Variations d'une suite numérique
Comme les fonctions, les suites ont des variations.
Définitions
Variations d'une suite numérique
Soit un une suite numérique.- La suite (un) est dite croissante si :
∀ n ∈ 
, un ≤ un + 1 - La suite (un) est dite strictement croissante si :
∀ n ∈ , un < un + 1 - La suite (un) est dite décroissante si :
∀ n ∈ , un ≥ un + 1 - La suite (un) est dite strictement décroissante si :
∀ n ∈ , un > un + 1 - La suite (un) est dite stationnaire si :
∀ n ∈ , un = un + 1
Le symbole ∀ signifie "pour tout".
Remarque
Pour une suite numérique, on ne dit pas "constante" mais "stationnaire".
Point méthode : Pour déterminer les variations d'une suite numérique, on calcule la quantité un + 1 - un,
- Si un + 1 - un ≥ 0, la suite (un) est croissante,
- Si un + 1 - un > 0, la suite (un) est strictement croissante,
- Si un + 1 - un ≤ 0, la suite (un) est décroissante,
- Si un + 1 - un < 0, la suite (un) est strictement décroissante,
- Si un + 1 - un = 0, la suite (un) est stationnaire.
Exemple
La suite numérique un définie par un = n² est croissante.
En effet :
un + 1 - un = (n + 1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1 ≥ 0
Car n est un naturel.
Donc la suite un est croissante.
En effet :
Car n est un naturel.
Donc la suite un est croissante.
Remarque
Une suite n'est pas forcément croissante ou décroissante. Parfois, elle peuvent être ni croissante, ni décroissante. Un exemple type est la suite un = (-1)n.
2 - Extremum d'une suite numérique
Qui dit variations, dit extremum.
Définitions
Extremum d'une suite numérique
Soit un une suite numérique.- La suite (un) est majorée si :
∃ M ∈ 
/ ∀ n ∈ , un ≤ M
M est appelé le majorant. - La suite (un) est minorée si :
∃ m ∈ / ∀ n ∈ , un ≥ m
m est appelé le minorant. - Une suite qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée.
Le symbole ∃ signifie "il existe" et le symbole / signifie "tel que".
Les notions de majoration et de minoration pour les suites numériques sont les mêmes qui pour les fonctions.
Quelques exercices sur Propriétés d'une suite :